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仕事とエネルギー、運動量を用いた物体の運動の解法
【間2] ばねでつながれた二物体の運動の運動量の保存と力学的エネルギーの保存則を用いた運動の解法
(参照:演習問題8の問2)
図のようにまさつのない水平な床の上に自然長が,、ばね定数がkxのばねが置かれている。 その両端に質量
とm。の物体1と2を取り付けた。 物体1に右向きに初速。を与えたところ. の物体は床の上をx軸の正の
方向に運動した。 座標系として、水平方向右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとり、原点を = 0における物体1
の位置にとる。 以下の問いに答えなさい。 (物体1、2の位置、速度、加速度のx成分をそれぞれ、x,(り、xs(り、
Yax(り、pzx(ひ)、qix(り、qzx(ひなど1や2の添え字を使用して表しなさい。 )
(1) この運動において、物体1と物体2の運動量の和は不変である。
その理由を運動量の変化と力積の関係を用いて述べなさい。
(2) この運動において、物体1と物体2の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和は不変である。
以下の記述がその証明となる。 正しい記述となるように次のカッコ( 1 )から( VI )に入れるべき数や式
を答えなさい。
時刻での物体1と2のx座標x。(。)、x。(ひを用いて、時刻でのはねののびを表すと( 1 )となる。よって、物
体1と2の運動方程式の成分はそれぞれ、m。学e中ニ( Tエ )…①、m se思ニ( 反 )…②となる。
e
次に、①式の両辺と。(O) = 字の各辺との積をとると、次のような等式が得られる。
る
map(O演ー( m ) x 左辺はps(O CO (tio人(の )…・@と式変形できる。よっ
て(aeO) =(T ) x 名.…④ 同様にして、全(apa⑨)=( mm ) x折品…の
③式と④式の各辺の和をとると、 (tp) ao3() ) =( W )…・⑤ ここで時刻Lでのばねのの
びを表す関数をXY(ひとおくと、( IV ) はxi(り、xz(ひの代わりにX(りを用いて、( IV )=( V 和書
くことができる。さらに、のひ式と同様な式変形より、( V )x富=
ーikX(O )…⑥となる。
@式と@式より、(imaik(O+3moik(0+3kX2(O ) =( Y )…⑦ 物体1と2は床の上を運動するこ
とから、ヵ>(0) = poy() = 0 よって、⑦式のカッコの中は物体1と物体2の運動エネルギーとばねの弾性エネ
ルギーの和となっており、それの時刻での微分が( VI )となることから、物体1と物体2の運動エネルギーと
ばねの弾性エネルギーの和は不変であるといえる。
(3) ばねの長さがもっとも長くなったとき、物体1と物体2の速度はどのような関係になっているか答えなさい。
(4) ばねの長さの最大値/。。。を求めなさい。
(⑮) 演習問題8の問2の解からも/mxを求め、(4)で求めた値と一致することを確認しなさい。
