問題 2.a€Qを定数として, ga(X,Y) =D X3 - (a+1)X? + aX - Y2 E Q[X,Y] とおく. この
とき,以下の問いに答えよ.
(A) Q上のアフィン3次曲線 E。:=V%(ga)/Qを考える。
(1)(z,0) e Ea(C) となるようなECを全て求めよ。
(2) E。(C)(= Vc(9a)) が特異点を持つようなaeQの値を全て求めよ.また, そのときの
E。(C) の特異点を全て求めよ。
(3) aが(A)(2) で求めた値のうち最大のものであるとき, E。(Q)の点を全て求めよ.
(B) ga(X, Y) を斉次化した3次式を G。(X,Y,Z) e Q[X, Y, Z]3 とおき, Q上の射影 3次曲線
E。:= V(Fa)/Qを考える。
(1) Ga(X, Y, Z) を求めよ。
(2) a=0として射影3次曲線 Eについて考える. 条件
(2:p:1) = (q:1:r) = (1:s:t)e Eo(C)
を満たす複素数の5つ組 (p,g,r,s,t) e C5 を全て求めよ。
(3) E。(C) n Vc(Z) の点 (すなわち, E。(C)z40 から見た無限遠点)を全て求め, 特異点か
どうかを判定せよ。
