問題2
高々2次の実係数多項式全体が成す線形空間を と=fg+な+oc [gc=誠と
する. ただし,A は実数全体の集合であり, x は実数値をとる変数とする. また,
多項式 7(*), 9+) の和とスカラー倍は. (7+のG0=7G)+ 9で). (が)G) =47G)
と定義する. 以下の設問に答えよ。
(1) も 1+ x+) は線形空間 と の基底となることを示せ.
(⑫) 任意の, 9eとに対して (. の=/(-Dg(-)+7(0)9(0)+/①90) なる演算
を定義する. この演算 (/, の) は以下の内積の性質それぞれを満たすことを示
せ.
① 任意の ge に対して 7.の=@ の
@ 任意の の んeア に対して(7. 9+がの=, の+げ. が
任意の , 9のer と任意の実数 4 に対して (が. の=えた, の
④ 任意の /=ア に対して (,=0 で, 等号成立は /(<)=0 のときに限る.
3) ⑫)で定義した内積 (/, の) のもとで 1 x 3"-2 は直交することを示せ. さらに,
1 * 3 2 を正規化して ア の正規直交基底を1組定めよ.
(④ 3)で求めた の正規直交基底を (万, 万, 万) とする. 線形空間 と から
3次元の数ペクトル空間 * への線形写像 を
0=q・ の0+9=o, rtマ)=g
で定めるとき, 《, ちち)と 人a, 6, 6) に関する e の表現行列 4 を
求めよ, ただし q, , c』 は" の線形独立な数ベクトルとする。
(⑮) 4。 の行列式, 逆行列を求めよ。
