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(an) in 211/2/11
基本 例題 029 関数の極限 -δ論法の基本
(am) = f(s) th
★★
The
を払えよ!
関数f(x) =x2+1は, x→1で2に収束する。 E0.05 0.005 のとき
|x-1|<8 ならf(x)-2|<g を満たすような正の実数の値をそれぞれ1つ定め
よ。また、一般ののときはどうすればよいか。
指針 e-δ論法(基本例題 030 の指針参照) の言葉で
ya
x→1のときf(x) 2になる事実
.
6
2<y<2+s をとっても、それに対応してx=1を中心とす
る範囲 0<x-1|<8 を十分小さくとれば、この範囲のすべて
のxに対して y=f(x) の値が2-s<y<2+e の範囲に含まれ
る」 ということである。
を説明すると 「y=2 を中心とするどんなに小さい範囲(1+8)
S
2+cl
2
f(1-0)
2-
1
この収束を示すには、y軸の区間 2-e<y <2+e が任意に与
えられたとき, x軸の区間 0<|x-1| <δをみつけることにな
る。
01 - 8 11+8
f(1+δ)-2>2-f(1-δ) であるから,まずはs=0.05,0.005 の場合に具体的に計算をしてか
ら 「f(1+8) <2+s ならばf (18) >2-c となること」 を示す。 これにより,f(1+8)=2+s
という式から上限となるδを決定できる。 または「任意の正の数」であるから,<e
の場合だけでなく, >1の場合も別に考える。
E-δ論法の詳しい説明は本書の53ページまたは「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分
の61,62ページを参照。
解答 f(x) は x>0 の範囲で単調に増加するから、ff(1-6)>2-6
かつ f(1+δ) <2+ となる正の数δを1つ定めれば,
1-8 <x<1+8となるすべてのxに対して2-s<f(x) <2+s
が成り立つ。
[1]=0.05 のとき
(0.95)=1.95, (105) 2.05 であるから,
1-δ<x<1+δとなるすべてのxに対して
2<f(x) <2+が成り立つための条件は
180.95 かつ 1+1.05
である。
例えば,8=0.01 とすると
(18)=0.992=0.9801 0.95 より
(1+δ)²=1.012=1.02011.05 より
1-8≥√0.95
1+8√1.05
E-δ論法の基本
を満たしている。
