nを1以上の任意の整数とするとき, 12 +22 +32 +…+n²==n(n+1)(2n+1)･･･ ① が成立することを数学的
帰納法で,以下のように証明した.
a〜eに当てはまる整数を答えよ (各2点).
[証明]
6
(i) n=1のとき, ①の左辺は1=1, ①の右辺はx1×(1+1)x(2x1+1)=-
=1/2x1×2×3=1/2x6=1となる。
従って, n=1のとき①は確かに成立する.
(ii)n=k (但し,kは1以上の整数) のとき, ①が成立すると仮定する.つまり,
12 +22 +32 +... +k=12k(k+1)(2k+1),
が成立すると仮定する. 以下で,この仮定のもとで, ①がn=k+1のときに成立することを示していく:
1² + 2² + 3² + ··· + k² + (k + 1)² = 1½ k (k +1
+ 1)(2k + 1) + (k+1)^
6
1
==(k+1){k(2k+1)+a(k+1)}
6
=
6
(k+1)(2k2 + bk+α)
=/1/
(k +1)(k + c)(dk+e)
となり,このことは,①がn=k+1のときに成立することを意味している.
以上 (i), (i)により, nを1以上の任意の整数とするとき,
12 + 22 +32 + ...+n²=-n(n+1)(2n+1)... ①,
=/m(n+1)0
が成立することが証明された.
