候 13 証明問題ノ図形とベクトル
AOAB があり, 3点, QRを OPニzBA, AQ=zOB. BR=ニAO となるように定める.
ただし, んは 0くんく1 を満たす実数である. OXーZ, OBニ=) とおくとき,
(1) OP, 0Q, OR をそれぞれ, ぢ, んを用いて表せ.
(2 ) AOAB の重心と APQR の重心が一致することを示せ.
(3 ) 辺ABと辺 QR の交点を M とする. 点 M は, んの値によらずに辺 QR を一定の比に内分す
ることを示せ. (茨城大・工)
重心を表すペクトル ) 図1の AOABの重心をGとする 図1 に
B
か。 06=き9A+ 6B) と表される. 図 2 の APQR の重心
をG とすると, 0Gニさ(OP+0G+OR)である. 図2の
0 はどこにあってもよい. 例えばOがPであってもよく, O A O* Q
その場合は FGYニ(PPPG+PR)=よ(G+ PR) だから図1の場合と同じ形になる:
2 つの点が同じであることを示すには ) 例題(2 )では, OG と OG を計算して (@, 5, 4で表しで)
両者が一致することを言えばよい.
時解 答
(1) OP=BA=%(OAーOB)=&g一Aぢ
00=0A+ AQ =Z+ OB=〆十んひ
OR=0B+ BR=5+4A0=ニ6一g
(2 ) AO0AB, へPQR の重心をそれぞれG, G' とすると,
@=ま⑭+2), 0G'=き(OPT 0G+OR)
|
(1)ょり
O+0Q+ORニ(4Z-42)+(Z+45)+⑫@-Ag)=Z-
となるから」 6=09=よ@+のでぁ2。 ai
(3) QM:MR=/: ローのとおくと,
、 OM=1-の0Q+/OR=
