めよ。
基本 122
れる｡
Ax ev
女を
をg,
とし
=1
=71- )
ば
124 1次不定方程式の自然数解
基本例題
xが2桁で最小である組は (x,y)=(1,
等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は
CHART O SOLUTION
方程式の自然数解
......
不等式で範囲を絞り込む
「x,yが自然数」すなわち x≧1,y≧1 (あるいは x>0,y>0) という条件を利
用して、最初からx,yの値の範囲を絞り込むとよい。
別] 基本例題122と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で, x,
が自然数になるように絞り込んでもよい。
解答
2x+3y=33 から
2x=33-3y
すなわち
2x=3(11-y)
2と3は互いに素であるから, xは3の倍数である。
① において, y ≧1 であるから
11-y≤10
よって
2x≦3・10=30
更に, x≧1 であるから
1≤x≤15
②③から x = 3, 6,9,12,15
ゆえに,等式を満たす自然数x,yの組は
それらのうちxが2桁で最小である組は
別解x=0,y=11 は, 2x+3y=33
であるから
2.0+3・11=33
① ② から
2x+3(y-11)=0
すなわち
2x=-3(y-11)
2と3は互いに素であるから, ① のすべての整数解は
x=3k, y=-2+11 (kは整数)
と伝定して
.....
0000
| 組ある。 それらのうち
である。
|基本 122
[福岡工大]
5組
(x,y)=(112,3)
① の整数解の1つ
と表される。
x≧1, y ≧1 であるから
よって
≤ks5
kは整数であるから
k=1,2,3,4,5
ゆえに,①を満たす自然数x,yの組は『5組
xが2桁で最小となるのはk=4のときであり,
(x,y)=(112, 3)
このときの組は
3k≧1, -2k+11≧1
重要 125
11-yは2の倍数である
からyは奇数。 こちら
から絞り込んでもよい。
429
◆それぞれのxに対して,
yは自然数になる。
2x=33-3y
=3(11-y)
と変形してもよい。
2k≧10から
k≤5
不等号の向きに注意。
←xが2桁のとき
x=3k≧10
4章
15
ユークリッドの互除法
(E
ス
免
