定理 [2.2]
ィ) det(a, …, a;+a%, …, an)
(j=D1,2, …, n).
= det (4;, …, a;,…, an) +det(a, …, a'f, …, an),
ロ) det (a, …, ca, …, an) = c·det (a1, …, aj, …, an),
すなわち, イ)行列の第j列の各成分が二つの数の和 aista(i=1,2,…,,
であれば,その行列式は, 第j列の各成分をそれぞれ aig, aty で置換えたニっ
の行列の行列式の和に等しい。 また, ロ)行列 A の第j列だけを c 倍した行列
の行列式は c|A| に等しい。
証明は定義から明らかである。
皇?(科産報事始 -) 産軍 u 24留 2
定理 [2.1] により, 行に関しても同じことが言える。
定理 [2.3] 1n 文字の置換 r に対し,
det (a-(1), a-c2), ……, a-(n)) = sgnでdet(a1, a2, …, an),
すなわち, 行列 A の列あるいは行の番号に置換rを施して得られる行列の行
列式は sgnr·|A| に等しい。
この性質を,行列式の, 列あるいは行に関する交代性と言う。
証明: det (a.(), a-(2), …, a-(n))
=2sgn o·a.ro(1) a2, ro(2) *… an, ro(n)
gESn
=sgnr2 sgn てo·a1.to(1) a2, ro (2) *… an,ro(n).
oESn
aが S, を動くとき, ro も Sn を動くから,
ESn
= sgnr.jA|.
(2)2か(1)1D.0 8s 「7 2u8s %=
証明終。
