例題11-9(平面上の1次変換)
(³3)
4
行列
| で表される平面上の1次変換 (線形変換)をfとする。
(1) y 軸に平行な直線 x =k は, f によって自分自身に移されないことを
示せ。
(2) f によって自分自身に移される直線をすべて求めよ。
[解説] 素直に1次変換で点を移すのが基本である。 平面上の1次変換 ( 線形
変換)によって,線形写像の図形的イメージをつかもう。
[解答](1)直線x=k上の任意の点(k, t) のfによる像を(x', y' とすると、
よって, x'=3k+t
3k+t
(*)-(3 3 ) ( ) = (3x + 4)
4
.4k+3t.
点 (x', y) のx座標が一定ではないので, 直線 x =k は自分自身には移さ
れない。
(2) (1)により, 求める直線の方程式をy=ax+b とおける。
この直線上の任意の点 (t, at+b) のfによる像を(x, y とすると
x'
3
t
3+α)t b
(x)=( ) (²+0) = ((4+30)+1+36)
- 2
4
at+b
これが再び直線y=ax+b 上の点であるとすると,
(4+3a)t+3b=a{(3+a)t+b}+b ∴. (a²-4)t+ab-26=0
これがtの恒等式となるためには,
Ja²-4=0
lab-26=0
[(a−2)(a+2)=0
(a−2)b=0
∴. [a = -2 かつ6=0 ] または [a =2 かつ6は任意]
よって、求める直線の方程式は,
y=-2x,y=2x+b (bは任意)
・〔答〕
