指針>2つの等差数列の共通な項の問題(例題 93)と同じように, まず, a:=Dbmとして、1とm
C=b, C2=bs, C3=bs となっていることから, 数列 {bn} を基準として, bm+1 が数列a
列 {a}の項でもあるものを小さい方から並べて数列 {cm}を作るとき、数外に
数列{a,}, {b,}の一般項を an=3n-1, bn=2" とする。 数列 (bn} の項のうち、
重要 例題100 等差数列と等比数列の異週県
1c
の一般項を求めよ。
重要 93, 基本物
関係を調べるが,それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。
そこで、数列 {an}, {bn} の項を書き出してみると, 次のようになる。
{an}:2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,
{bn}:2,4, 8, 16, 32,
形々
指査
の項となるかどうか, bm+2 が数列 {an} の項となるかどうか,
を順に調べ、規則性
見つける。
解答
a;=2, b=2 であるから
数列 {an} の第1項が数列{bn} の第 m項に等しいとすると
Ci=2
37-1=2"
bm+1=2"+1=2".2=(37-1)·2
=3-21-2
よって, bm+1は数列 {an} の項ではない。
ゆえに
の
43-○-1の形にならない。
のから
bm+2=26m+1=3·47-4
=3(41-1)-1
のゆえに, bm+2 は数列 {an} の項である。
fcn}:b, ba, bs, ………)
数列 {co} は公比 2° の等比数列で, Ci=2であるから
C=2-(2°)"-!=2n-1
(2
したがって
4c,=
などと答えても
い。
検討)合同式(チャート式基礎からの数学 A 参照)を用いた解答
3n-1=-1=2(mod 3) であるから, 2"=2(mod3) となる mについて考える。
[1] m=2n(n は自然数)とすると
227=4"=1"=1(mod 3)
[2] m=2n-1(nは自然数)とすると
27-1=22(nー1).2=4"-1.2=1"-1.2=2(mod 3)
