2 一般相対性理論
i番目(i=1, 2, ……, N) の質点の座標を z"(ri) あるいは略して z(i), 固有時を T
() は dz"(ri)ldriを表わす。 また g() とは gpola(i)) のことである。このI
さて(2.43) の 2(i) に対する変分を計算してみよう.ここでながi番目の粒
となる。したがって Isは, 任意の座標変換に対してその値が不変, つまりス
またその質量をmi とすると, この物理系の全作用積分Iはつぎのようになる:
27
ここでムは
Iム=-2mcv-gm()P()E(Hdru
(2.43)
は次のようにかくこともできる:
I、= -2mc||v-g()を()ぜ(みのー2(i)dzid"a.
(2.43))
1
Iはつぎの量である:
=1
Jadu
1
1
I,= -
2cK.
-g·Rd*a.
(2.44)
ミ
2cK,
一般にテンソルにV-gのかかった量をテンソル密度とよび, それをもとの
テンソルと区別するために花文字で表わすことにする。特に上にでてきたRの
ように,スカラーRにV-gのかかった量をスカラー密度とよぶ。
座標変換 →'に対してスカラーは
R(x) = R'(x')
であるが,スカラー密度は, V-gという量がついているために
R(r) = R(®,.)
(2.45)
あるいは簡単に
al2)
という関係をみたす。 (2.45) から
(e co)5
(2.45)
R(x^)d*a' = R(2)d*x = スカラー
カラーである。
子の固有時であることに留意すると
