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問題F 運動方程式、斜面上の運動 粗い摩擦のある斜面上に質量mの物体があり,時刻 -0 から斜面を滑り始めた.時刻-0 の物体の位 置を原点とし,物体の進行方向(斜面方向)下向きにx軸,それに垂直上向きにッ軸をとる.重力加速 度の大きさをg,運動摩擦係数を, 斜面が水平となす角度0とする.以下の問いに答えなさい。 (1)問題文で書かれた角度0の斜面に置かれた質量 m の物体に働く力を図で示しなさい。ただし,摩擦 力を,垂直抗力カをNとする (2) この物体の運動方程式を書きなさい (x成分、y成分とも)。 (3) 時刻における物体の加速度のx成分(a.)を求めなさい。 (4) 時刻」における物体の速度のx成分(.)を求めなさい。 (5) 時刻における物体の位置のx成分(x)を求めなさい。 (7)物体の加速度のx成分 ax、速度のx成分 ひxおよび位置のx成分xの時間変化をそれぞれグラフに示 しなさい。 す小

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H o回 問題G 単振動 バネ定数kのバネがあり、水平に置かれている.片端は壁に固定されている.もう片端には質量mの 小球が取り付けられている. バネを伸びる方向にx軸をとり, バネが自然長であるときに小球の位置を 原点とする。小球を手で距離Lだけ引っ張りバネを伸ばした状態からゆっくり手を離すと、小球は単振 動をする。摩擦や空気抵抗は無いものとして, 以下の間に答えなさい。 (1) バネにつながれた小球が位置xにあるとき、 小球にはたらくカFを,符号を含めて表しなさい.) (2) 小球の運動方程式を書きなさい。 (3) 小球の振動の周期 T、振動数,, 角振動数 のを書きなさい。 (4) 小球の振動の振幅を 4, 初期位相を po として, 時刻 tにおける小球の位置xを,三角関数(cos) を 用いて表しなさい.角振動数はのをつかいなさい。 (5)(4)の結果を用いて、時刻 tにおける小球の速度ひを求めなさい。 (6) 時刻た0 でx=0 であったとする. この時の小球の速度の大きさ voを力学的エネルギー保存則から求 めなさい。 (7)(6)で得られた結果から初期条件(t=0 でx=0, ひ = vo) を用いて, 振幅Aと初期位相 po を求めなさ い。ただし,voには(6)で求めた値を使うこと.

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問題J 摩擦力と仕事 質量mの物体が速さで水平な床の上を運動している.床が粗い場合に物体は距離しだけ進んで止ま った。水平方向にx軸をとり,物体が運動している向きを正の向きとする.物体と床との間の運動摩擦 係数をμ,重力加速度の大きさをgとして以下の間に答えなさい。 (1) この物体にはたらく摩擦力の大きさFはいくらか。 (2) 距離Lだけ進んで止まるまでの間,外力である摩擦力がする仕事を求めなさい。(摩擦力の向きは物 体の進む向きと逆向きであることに注意すること.) (3) この物体の運動エネルギーの変化が外力のする仕事に等しいことを示す式を書きなさい。 (4) 距離Lを速さぃを用いて表しなさい。 L m m x

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問題C 慣性モーメント (1)質量 M,長さ L の細い一様な棒の端を通り,棒に垂直な軸の周りの慣性モーメント 」を求めなさ い。 (2) 質量 M,長さLの細い一様な棒の中心を通り,棒に垂直な軸の周りの慣性モーメント I12を求めな さい。 (3) 質量 M,半径aの一様な薄い(かつ細い)円環 (円筒の長さを0にしたもの)の中心を通り,円環 に垂直な軸の周りの慣性モーメント I3を求めなさい。 (4)質量 M,半径aの一様な薄い円板(円柱の長さを0にしたもの)の中心を通り,円板に垂直な軸の 周りの慣性モーメント 14を求めなさい。 (5) 半径Rで質量Mの球に質量の無視できる長さ Lのピアノ線を結びつけて天井につるし, 振り子とし た。この振り子の慣性モーメント1sを求めなさい.ただし,球の慣性モーメントをIoとする。 (6)(5)で球の半径がピアノ線の長さに比べて無視できるとする.この振り子の慣性モーメント I6を求め なさい。

モーメントの問題です。サークルでF０の値を求めたいのですが、もとまらなくて困っています。教えてください。 車体の重心は5:6の位置にあります。タイヤの軸は摩擦抵抗なく回ります。右方のタイヤの位置は、その場から動かないものとします。 ご不明な点等ございましたら、質問お願いします。

2350mm 一一 550m F。 300kg

3次元調和振動子の問題です。(10)がわかりません。(6)〜(9)は2枚目のように考えました。

II.質量m、角振動数u(> 0) の1次元調和振動子について考える。この系の定常状態に対する シュレーディンガー方程式は以下のように与えられる: mw?2? -)(a) = Ey(z). d? 2m da? 2 この式は d d -e da 1 a= at l= V2 de mw を用いて (cla+)W) - EWe) Fwla'a と書き直せる。 (6) 基底状態のエネルギー Eと波動関数 o(x)を求めよ(規格化しなくてよい)。 (7) 第1励起状態のエネルギー Eと波動関数()を求めょ(規格化しなくてよい)。 次に3次元調和振動子を考える。この系の定常状態に対するシュレーディンガー方程式は以下 のように与えられる: (( )fャ) (2,9, 2) = E(z,y, 2). (iv) 2m 2 (8) 基底状態のエネルギーを丸,m,wのうち必要なものを用いて表せ。 (9) 第1励起状態の縮退度 Dを求めよ。 (10) 第1励起状態で L。 i ー 2 8z の固有状態であるD個の線型独立な波動関数を (vi) と書く。式(vi) の関数の具体形(規格化しなくてよい)とL。に対する固有値を求めよ。

緑のマーカー部分の変形でx1,x2がyについて表しているのにx^2で変形しているのがわからないです。 深読みせずそのままdy と積分区間だけを変えればいいということでしょうか。よろしくお願い致します。

看要 例題2TT y軸の周りの回転体の体積 (2) 451 のOのの 関数f(x)=sinx (0Sxsz) について,関数 y=f(x) のグラフとx軸で囲まれ た部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vは,V=2x)。xf(x)dx で与えられることを示せ。また,この体積を求めよ。 基本 276 指針>高校数学の範囲では、y=sinxをxについて解くことができない。そこで,立体の断面積 をつかみ、置換積分法 を利用して解く。 この立体をy軸に垂直な平面で切ったときの断面は、曲線y=sinxの 8章 40 (SxSxの部分を回転させた円)-(0Sxs号の部分を回転させた円) 種 解答 y=sinx (0SxSx)のグラフの0<xs -の部分のx座 y=sinx (0S×ST) 標をxとし、今 KxSzの部分のx座標を xxとする。 2 このとき,体積Vは V=ェ ー dy T X つれe! 決がしる ここで,y=sinxから 積分区間の対応は x」については[1]. については[2] のようになる。よって dycos x dx V= y 0 → 1 y 0 → 1 0 T → 2 x x 2 V=z "coS.x dx-zxcos.x dx=-x\x"cos.x dx(«-=-(S+S) ーπ 0 x' sinx-2xsinxdx)=2x\xf(x)dx ニー 通にオご表くい る また V=2r), rsinxdx=2x(|-xcosx| +,cos.x dx) "CoS X

途中式込みで教えて欲しいです！ よろしくお願いします🙏

Y= D。+ DiXr MIP= Lo- LiXr ここで、Y: 生産量、r: 利子率を表す。 3.次の間に答えよ。 財市場均衡 貨幣市場均衡 2) (1) 0, 2よりrを消去して、 PをYの式として表しなさい。(分数関数になる) (2)(1)で求めた分数関数において、漸近線を求めなさい。 (3) (1)で求めた分数関数において、縦軸 P、 横軸Yをとって、グラフを記しなさい。

回答の3行目と6行目のところで、0<a≦2とa>2となっていますが、これは、0<a<2とa≧2の方が良いのではないでしょうか。

基本 例題81 最大値,最小値を関数ととらえる問題 基本 79 [富山県大) 関数のグラフ (下に凸の放物線) の軸は直線x=aであるが, aのとる値によって軸の位録 か変わる。最小値を考えるから, 軸x=aと区間0<x<2の位置関係を調べる。 本間では、a>0であるから, 軸が区間の 内,右外の場合に分けて考える 場合分けされたaの値の範囲で求めた m(a)に対し, 6=m(a) のグラフを考えることで、 m(a)の最大値を求める。 い07 答 f(x)=(x-a)°-a'+2a まず,基本形に直す。 改の式を変形すると f(x)のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=a 1] 0<a£2のとき 図[1] から, x=aで最小となる。 小麦 (軸が区間の内 a>0であるから,軸が区 間の左外は調べなくてよい。 軸が区間の右外 最小値は f(a)=-α°+2a S+ ] a>2のとき 図 [2] から, x=2 で最小となる。 最小値は f(2)=-2a+4 小最 S+ |軸 ローメ 最小 最小 大 (S+ x=0 x=a x=2 x=0 x=2 x=a

証明をして頂きたいです🙇‍♀️ よろしくお願い致します。

検討 aSxSbのとき, f(x)2mx+n, tan 0=m (0<0<)とする。 2 曲線y=f(x)と直線y=mx+n, x=a, x=bで囲まれた部分を直線 y=mx+nの 周りに1回転させてできる立体の体積は V=rcosof(x)ー(mx+n)}°dx つまり,曲線y=f(x)-(mx+n)とx軸, 直線x=a, x=bで囲まれた部分を x軸の周りに1回転させてできる立体の体積のcos0 倍