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さらに、商x+yについて考えると、 これまう分数にもなり得るので, 商
(+) についても閉じた集合にするためには数の集合を整数の集合Zから
有理数の集合Qにまで拡張しなければならない。
有限小数032や, 田唱小数 0.121212 1は,
ī
032-☆,0.121212 =青と分数で表きれるので, 有理数の無合②の要素である。
このように、数を有理数にまで拡張すると, 0は内山演算に関して閉じ
た集合となり、さまざまな計算が可能となる。 しかし, 微分, 積分では極
良の操作も入るので, さらに, これに無理数も加加えた, 実数にまで数を拡
張する必要があるんだよ。
数列の極限では, 無理数が必要だ!
数列{a.}が、次のような初項と瀬化式で定義されているものとする。
3a,+2
E+"D
このとき,az, as, a4, …の値を求めてみよう。
=I+"p 'I='D
n=1のとき, より
3a,+2_3+2_5
E+'D
1+3
n=2のとき,①より
a;=
3+2
+3
3a,+2
15+8
23
-=「D
az+3
5+12
17
n=3のとき,①より
23
+2
17
_3a,+2
69+34
23+51
103
-=『D
a,+3
23
+3
17
74
以下同様に,すべてのnに対して,a,は有理数であることがわかるね。
でも,n→oとしたときの a,の極限値になると話が違ってくる。
