1. p を素数とする. 有理整数全体からなる集合に対して
x~y⇔x-y∈pZ:= {m|n∈Z}
という関係を定める.
(1)〜 はZ上の同値関係であることを証明せよ.
(2) 同値類 Z/~の完全代表系を一組求めよ (証明は不要).
(3) 以下の写像が well-defined であることを証明せよ.
Z/ ~ ×Z/ ~→ Z/ ~; ([x], [y]) ↔ [x] × [y] := [x × y].
(4) Z/~の [0] でない任意の元 [2] に対して, [x] × [g] = [1] となる [y] が
存在することを証明せよ.
X
(5)を正の整数として, [u] ∈ Z/~の”個の積を [u] := [u] x [a] xx []
と表すことにする. 実は,ある [g] ∈Z/~が存在して, [0] でない任意
の [a] ∈ Z / ~に対してr∈Z が存在し, [a] = [g] となることが知ら
れている.このg に対して, [g]P-1 [1] であることを証明せよ.また,
1≤r <p-1に対しては [g]" ≠ [1] となることを証明せよ.
(6)p-1∈4Z を満たす素数 p に対して, [x] = [-1] を満たすæ が存在す
ることを証明せよ. (ヒント: 「オイラーの規準」 で検索)
