線形代数 秋学期 レポート問題
原点を中心とする球上の任意のベクトルを、 同じ球上の特定のベクトルに写す直交変換を与
える行列を求めよう
ベクトル空間 R! において内積 (xy) xry (xy e) をとり内積補間とする. ly ニ
9
(0 < 9 e RR) である任意のye R? に対して.4yニ| 0 | となる3次直交行列 .4 を以下の方法
0
で構成する. 簡単のためeニ
9
0 | とぉく
0
1
-100
ャニーeのときは求める4 として| 0 1 0 | をとることができる. よってマ+eデ0と
0 0 1
言っーー
なるYについて考える. IP をRY の部分人
べたよ
『R* の任意のベクトルはwu=ao(Y十e@)二w (eeR、w e PF) と一意的に表される.」
問題1]: R? から R3 への全像を
7一R3H7(o(yキの+w)
と定義する
(1) 7 が線形写像であることは認めた上で, 7 が直交変換であることを示せ
(2) (v+ ey e) を計算せよ。
(3 7(y + e) 及び7(y - e) をとeを用いて表せ.
(4) 7(y) = e を示せ
(ve) の直交拉補間とする. このとき講義で途
(Y+9ーw (ceRuweP)
ァ
以下マニ| 』 | とする. yll 9よりだ+記+だニの である.
7
ヵ+す9
問題2]: wa( s ) 72Weeb こるHuてIPのKe 1入りよ
1
講葬で述べたように 問題2] で香た の基底を (pi、pz) とすると(yerpi、pz) はRI の
匠克となる
間題3]: (1) 7の {y+ e.pi.pz} に関する表現行列を求めよ.
(⑫ (y+ epip。) = (ei、es,ey)P を講たす3次正則行列の凶行列を求めよ. ここで
1 0 0
=|0|.e=|1|.e=| 0 | とする.
0 0 1
(7 の (el.es、es) に関する表現行列 4 を求めよ
ここで得た 4 が, 求めていた 4vy = e, 4オー 戸。 を満たす行列.4 です. 実際にそのように
なっているか計算して確かめて見て下さい (ここは「問題」とはしません).
