2変数関数の極値 (IV)
演習問題 117
|2変数関数f(x,y)=2x-2y3-3x2+6xy-3y2 の極値を調べよ。
ヒント! A の符号と, B2 -AC の符号で極値を調べよう。
解答&解説
z=f(x,y)=2x-2y3-3x2+6xy-3y'...... ① とおく。
まず、1階の偏導関数を求めると,
|fx=6x² - 6x+6y= 6(x² − x + y)
15,=-6y2+6x-6y=-6(y2-x+y)
fx = 0 かつfy = 0 のとき,fx²-x+y=0
[y² = x+y=0
......3
③-②より、y^-x²=(y+x)(y-x)=0 ∴y = ±x
•y=xのとき,②より,x2-x+x=x2=0 ∴x=y = 0
Cyto
•y=-xのとき,②より, x2-x-x=x(x-2)=0
∴x=0,2より, (x,y)=(0,0),(2,-2)
以上より, (x,y)=(0,0),(2,-2)
次に,2階の偏導関数を求めると,
fxx=12x-6, fxy = 6, fyy=-12y-6
これに④の各組の値を代入したものを,それぞれA,B,C とおく。
(i) (x,y)=(2,-2) のとき,
|160
|A=fxx(2,-2)=12×2-6=24-6=18> 0
B=fxy (2,-2)=6
C=f,(2,-2)=-12×(-2)-6=18
∴. B2-AC = 62-182 < 0
極値をとる可能性のある点は、
(0,0),(2,-2)の2点
B2 -AC < 0 かつA>0より、点 (2,-2) f(x,y) は極小となる。
極小値f(2,-2)=2・23-2・(-2) 'ー3・2'+6・2・(-2)-3・(-2)
TO
TU
16
-16
12
-24
12
=
=16+16-12-24-12=-16
(答)
