第1章 関数の展開
問1
次の関数の() 内の点における1次近似式を求めよ。
(1) f(z) = sin e (r=0)
(2) g(r) = V ("=1)
(2) 式において、左辺から右辺を引いた差で定まるeの関数を e, とおく。
f(x) - f(a) -f(a)(2-a) %3D €y
関数 E,= €, (z) はaを含む区間で連続で
リ= f(z)
lim e, = €, (a) =0
エ→a
となる、さらに、 (3) を変形した式
f(x)
E1
f(x) - f(a)
E1
-f(a) =
C-a
-a
と(1)より、次の式も成り立つ。
f(a)
f-to- foalcce
- falGca,
E」
lim
= 0
エ→a C ーa
(3), (4) より次の公式が得られる.
1次式による近似
E1
f(x) = f(a) + f (a) (x-a) +£.
ただし lim
= 0
エ→a C - 0
次に,関数f(z)は定数aを含む区間で2回微分可能とする。
f'(z) に上の公式を適用すると
f(z) = f(a) +f"(a)(x-a)+e
両辺をaからまで積分して
| r() da= | f) +"@(a-a)+s,}dr
a
f"(a)
f(x) - f(a) = f(a)(r-a)+(-a)"+ / e, de (5)
2
右辺の最後の項を ea とおくと, ロピタルの定理と(4) より
E2
Eg
E1
lim
(r-a)?
lim
lim
2(r -a)
= 0
ニ
エ→a
エ→a
エ→a
