問4.2回微分可能で2階導関数 f'(r) が連続な関数全体の集合を C2(R) とす
る。(ただしæは実数とする。) C2(R) は通常の関数の和と実数倍でベクトル
空間となる。
W = {f(z) ∈ C(R)\f"(x) -4f'(x)+3f(x) = 0}
=
を考える。
(1) ex, ex は W の元でる。この2つが一次独立であることを示せ。
(2) f(x) ∈W のとき、行列
A=
ex e³x f(x)
(ex)' (ex)' f'(x)
(ex)" (ex)" f'(x)
を簡約化した行列 B を求め、 rank (A) を求めよ。 また、 簡約化した行列 B の
すべての成分は によらない定数であることを示せ。
(3) f(x) ∈Wに対して、 1,12, 13 ∈ R を変数とする方程式、
tex+tze3+ tof(x) = 0
を考える。この方程式に自明な解以外の解が存在することを示せ。
(4) f(x) ∈ W を取ると (e²,ess, f(x)) は必ず1次従属となり、 ある定数 d1,d2 ∈
R を用いて必ず f(x) = diez + d2e3 と表せることを示せ。
(注)この事実は2階線形微分方程式の解法に使われる。
