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等差数列 (a}, {(b,} の一般項がそれぞれan=4n-3, bn=7n-5であるとき、
重要 例題93 2つの等差数列の共通項
の一般項を求めよ。
基本85)(重要10、
指針> a,=1+4(n-1)であるから, 数列 (an} の初項は 1, 公差は4.
b。=2+7(n-1)であるから, 数列(bn} の初項は 2,公差は7 である
4(公差)=(nの
具体的に項を書き出してみると
+4は7回
+4 +4 +4 +4 +4 +4 +4
Uく
{and:1. 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61 e
{bn}: 2, 9,
16,
23,
30,
37,
44,
51,
58,
+7
+7
+7
+7
+7は4回
となり,これは初項 9, 公差28の等差数列である。
公差4,7の最小公倍数
よって {cn}:9, 37, 65,
このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからか。
(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率である。そこで, 1次不定方程式(%s
A)の解を求める方針で解いてみよう。
共通に含まれる数が, 数列 {an} の第1項, 数列{b.}の第m項であるとすると
よって, 1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 41-7m=-2 の整数解であるから、ます。
この不定方程式を解く。
解として,例えば, 1=(kの式)が得られたら, これを a=4l-3の1に代入すればよい。
ただし,たの値の範囲に注意が必要である(右ページの検討参照)。
a=b。
解答
a;=bm とすると
4/-3=7m-5
よって
41-7m=-2
=3, m=2とした場合は
検討参照。
1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから
4(1+4)-7(m+2)=0
4(1+4)=7(m+2)
4と7は互いに素であるから, kを整数として
1+4=7k, m+2=4k
1=7k-4, m=4k-2
ここで,1, m は自然数であるから, 7k-421かつ 4k-221
ゆえに
のすなわち
と表される。
イ&はんかつね
満たす整数であるから。
然数である。
より,kは自然数である。
よって,数列 {cn} の第ん項は, 数列 {an} の第1項すなわち第
数列(b,}の第m頂す
ち第(験-2)項として
(7k-4)項であり
4(7k-4)-3=28k-19
い。
求める一般項は, kをnにおき換えて
C,=28n-19
