Evid
53 面積 (2)
xy平面上に,放物線C:y=x2-5x+6と直線l:y=kax-a-5aがある
ただし, α, k は実数の定数とする.
(1) すべての実数a に対して, lがCと異なる2点で交わるような定数に
(2) (1)で求めた範囲にあって, Cとしで囲まれる図形の面積Sがαによら
の値の範囲を求めよ.
(一橋大)
(解答)
(1)
|y=x2-5x+6
|y=kax-a²-5a
①②からyを消去して整理すると,
x²-(ka+5)x+(a²+5a+6)=0
=4(k-2) (6k-13)
であるから, D2<0より、
③の判別式をDとすると,
D₁ = (ka+5) ²-4 (a²2+5a+6)=(k²2—4)a²+2(5k-10)a+1
であり、「すべての実数a に対して, lがCと異なる2点で交わる条件」は,
「すべての実数a に対して, D1 > 0 が成り立つ条件」
x=α
すなわち,
「すべての実数a に対して, (k²-4)a2+2(5k-10)a+1>0が成り立つ条件」
を考えればよい. ここで, f(a)=(k2-4)a2+2(5k-10)a+1 (=D1) とする.
(ア)²-4<0のとき
f(a)
f(a) は上に凸の放物線となり、条件を満たさない。
(イ)²40 すなわちんく - 2,2くんのとき
f(a) のグラフは下に凸の放物線である . f(a)
のグラフが横軸と共有点をもたなければよいか
ら, f(a) = 0 の判別式を D2 とすると,D2<0で
あればよい, よって,
-=(5k-10)²-(k²-4).1
=4(6k²-25k+26)
2<k<lo (k<-22<k を満たす)
(ウ)k=2のとき
C
x=B
f(a) = 1 であるから、すべての実数」に対して
A
(ア)²-4<0のとき
f(a)
(イ) k²4>0のとき
f(α) を平方完成して, 頂点に注目して考えるこ
ともできるが,平方完成の計算が大変なので、
判別式を利用した方がよい
> a
f(a)
→0
O
(ウ) k=2のとき
k=
f
以上よ
(2) ③
C
である
が成り
S
S
(1
解説
「6
挑戦し
試本番
本門
るが、
とき
であ
て扱
れを
文系
