2.1 ラグランジュ形式
解析力学の2つの形式,すなわちラグランジュ形式とハミルトン形式についてその
特徴を述べ,両者の関係を考察するのが本章の目的である).
まず,ラグランジュ形式から始める. ラグランジュ形式は独立変数として一般座標
g'を用いて記述されるが, ラグランジュ関数Lはgとずで表される。そして, 外的
拘束条件のない場合は, ラグランジュの運動方程式は前節で述べたように
d
OL
TO
= 0,(i=1~ N)
dt(0g
Og'
である。これは gi の時間に関する2回微分方程式であり, 一般には N個の独立な方
住式糸である.したがって, これらの方程式を解いて運動を求めるとき, 初期値 g' と
9の両方を指定して運動が一義的に決定される. すると, 力学系の状態を指定するの
は9とであるといえるから, g'とがとを変数とする空間を考えると都合がよい。
このような2N 次元空間を状態空間、あるいはハミルトン形式の位相空間(phase
*pace)と対応させて, 速度位相空間(velocity phase space)という。
そこで,速度位相空間の座標を(g',g) で表すことにする.は速度 に対応す
る変数であるが, gi は一応q' とは別ものとして扱い, q' の時間微分であるfと区別
注*)本章以下,ラグランジュ関数 Lおよびハミルトン関数H は時間を陽に含まないとする.時間に
顕わに依存する場合も, OL/0tの付加項が付くだけで, 以下の考察は本質的に変わりはない。
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