[1]群Ⅰの正規部分群 M, N に対し, 「T=MN が成立する」とは, MON = {1}
であり、かつ上の任意の元g がg=xy (x∈M,y∈N) なる形に表せることをい
う(ここで1はTの単位元を表す) このとき,
(1) M の任意の元とNの任意の元y は, Tにおいて xyly1 = 1 をみたす
ことを示せ .
以下,pを素数, C を位数の巡回群とする. また, 群G の正規
F1, F2, H1,
H2 に対し, G = F x H1 および G = F2 x H2 が成立し,かつ, 群同型 FF2 C
が存在したとする. このとき, 次の問いに答えよ.
(2) もし Fin H2 = {1} ならば, G = F x H2 が成立することを示せ,ここで
1,EGは群 Gの単位元を表す.
(3) もしF CH2 かつ F2 CH1 ならば, 群同型 H2/F1 F1/F2 が存在すること
を示せ.
(4) 群同型 H1 H2 が存在することを示せ .
