II
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以下の文章の空欄に当てはまる数値または選択肢をマークせよ。 なお、番号には 「① +, ②
③ 値が0なのでどちらでもない」 のいずれかを選択して解答すること。 単位が明記されていない物
理量はすべてSI単位の適切な基本単位もしくは基本単位の組み合わせによる組立単位を伴っている
ものとする。
軸上を運動する質量3kgの物体に, 速度でに依存する抵抗力F-6(vv) が作用している。 時
刻t=0において,この物体は0の位置にいて 204m/sの速さでz軸の正方向に運動していたと
する。この物体の運動方程式として適切なものを以下の選択肢からすべて選ぶと 21 となる。
(選択肢)
dax
dv
d²v
①3-
=
-6(V) ②3-
=
dt
-6(√)335
=
dt
dt2
=-6(VD) ④3- =vo - 6(√)³
dv
dt
⑤ 3 =vo-6(vv) ⑥ z=-vot- (vo)342 ⑦
dt
この運動方程式は, 変数分離を用いると,
dv
03/2
= 22 23
1
I= =vot- (viit2
dt.
と変形でき, 両辺の積分を実行して、 初期条件を用いることで,
24
v(t) =
26
(1+25t)
と求まる。 また, 時刻における物体の位置z (t)は,
27t
x(t) =
う
1 + 28t
となる。これらの結果から,この物体は無限に時間が経過したときに= 29 の位置で止まること
が分かる。
物体がx=0からある点=Xまで動く間に抵抗力Fがする仕事Wは, 抵抗力Fを物体の動き方に
あわせてで積分することによって求まるから,
W
=
= √³ Fo
X
Fdx,
を計算すればよいが,この計算を実際に実行するためには, 積分変数を位置から時刻tに変換して
時刻t=0から物体が=Xに到達したときの時刻t=Tまでの間にFがする仕事を求める式に変形
するのが便利である。 dr = v (t) dtに注意しつつ, 置換積分を利用してこの計算を行うことで,Wを
3132
求めることができる。 例えば, t=0からt=1/2までの間にFがする仕事は [30]
-
である。
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方, 物体がt=0から29で止まるまでにFがする仕事は, T∞の場合のWを考えればよく,
その結果は W=343536となる。
