重要 例題 138 不定積分に関する漸化式の証明
00000
nは0以上の整数とし,In=sin"xdx とする。このとき,次の等式が成り立つ
ことを証明せよ。 ただし, sinx=1である。
n≧2のとき In=11-
{-sin"-1xcosx+(n-1)In-2}
n
指針 前ページの重要例題137と同様に、部分積分法を利用して変形すると
In=|sinxdx=sinxsin"-xdx=(−cosx)sin-da
=(-cos x)sin-x+(n-1))sin"-2x cos xdx=.....
kin
答
ここで,
に cos2x=1-sin'x を代入して変形すると, In と In-2 が現れる。
n≧2のとき
=
In Ssin" xdx=Ssinxsin"-¹xdx
n-1
TRAHD
重要 137
=(−cosx)’sin”−xdx
=(−cosx)sin*-x−\(−cosx)(n−1)sin”-2xcosxdx
=-sin”-xcosx+(n−1)sin2xcosxdx
=-sin"-xcosx+(n-1)Şsin"-2x(1-sin' x)dx
=−sin”xcosx+(n−1)(sin”-xda-sin" xda
=-sin"-1xcosx+(n-1)In-2-(n-1)In
よって In+(n-1)In=-sin"- 'xcosx+(n-1)In-2
すなわち nIn=-sin1xcosx+(n-1) In-2
したがって
In=1{-sin" 'xcosx+(n-1)In-2}
お
【部分積分法を利用。
cos2x=1-sinx
分
分法を
In と In-2 が現れる。
n≧2からn-2≧0
して使ってもよし
=1{−sin”-1xcosx+(n-1)I-anh X
n
