■ 第3章 集合と命
Think
例題 93
集合の相等の証明書の
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Zを整数全体の集合とするとき,次の集合A, B は等しいことを証明せよ。
A={4x+3ylxEZ, y∈Z}, B={5x+2yxZ, yEZ}
BCA
A=B
考え方 ACB
-U-
A=B、
B
A
かつ
⇔
A=B (2つの集合の相等)の証明は, ACB と BCA の双方を示す。
ACB の証明は、任意の整数x,yに対して,次のように表せることを示す。
4x+3y=5×(整数)+2×(整数)
BCA の証明も同じ方法による.
解答 (i) 集合Aの任意の要素を
α=4x+3y (xEZ, yEZ) とする.
4=5×0+2×2,3=5×1+2×(-1) より
=(5×0+2×2)x+{5×1+2×(-1)}y
=5y+2(2x-y)
xEZ, yEZ より 2x-yEZ であるから,
αEB
したがって, ACB が成り立つ.
(ii) 集合Bの任意の要素を,
B=5x+2y (xEZ, yEZ) とする.
5=4×2+3×(-1), 2=4×(-1)+3×2 より,
B={4×2+3×(-1)}x+{4×(-1)+3×2}y
=4(2x-y)+3(-x+2y)
xEZ, yEZ より 2x-yEZ -x+2yEZ であ
るから, BEA
したがって, BCA が成り立つ.
(i), (i)より, ACB かつ BCA であるから, A=B
が成り立つ
Focus
注
ACB の証明
4x+3y
=5×(整数)+2×(整数)
の形で表すために, 4
と3を
5×(整数)+2×(整数)
の形で表す.
4=5×2+2×(-3)
などとしてもよい。
BCA の証明
5x+2y
=4×(整数)+3×(整数)
の形で表すために, 5
と2を
4×(整数)+3×(整数)
の形で表す.
A=B(2つの集合の相等)の証明は, ACB かつ BCA を示す
4×1+3×(-1)=1 より 4×n+3×(-n)=n
つまり、x=n,y=-n のとき, 4x+3y=n
5×1+2×(-2)=1 より 5×n+2×(-2n)=n
つまり、x=n, y=-2n のとき, 5x+2y=n
となるので,A,Bはともに整数全体になる.
柚羽
