特性方程式がずっと理解出来ず悩んでいます.... YouTubeやYahoo知恵袋を見ても理解出来ず 自分の理解力のなさに自分で失望してます どなたか教えて頂け無いでしょうか 今日極限のテストで範囲に漸化式と極限の問題があり 非常に焦っています(；；) α =a(n),a(... 続きを読む

上から4行目はなぜこうなるのですか？

基本 例題 29 漸化式と極限 (4) *** 連立形 00000 P1(1, 1), Xn+1 1 = 4 4 xn+n, In+1= 5 3 -xn+ 4 面上の点列 Pn(xn, くことを証明せよ。 指針 点列 P1, P2, yn) がある。 点列 P1, P2, 1 5yn (n=1, 2,......) を満たす平 がある定点に限りなく近づくことを示すには,lim, limyn がと はある定点に限りなく近づ [類 信州大 ] p.36 まとめ, 基本 26 n→∞ もに収束することをいえばよい。 そのためには,2つの数列{x},{y}の漸化式から Xn, yn を求める。 ここでは,まず,2つの漸化式の和をとってみるとよい。 (一般項を求める一般的な方法については、解答の後の注意のようになる。) 811 Xn+1= 1 3 xn+ yn ①, Yn+1= 解答 4 1 x n + 1 − y n 5 Yn ② ①+② から Xn+1+yn+1=Xn+yn P1(1, 1) から x+y=2 x=1, y=1 よって xn+yn=xn-1+yn-1==x+y=2 ゆえに yn=2-xn これを①に代入して整理すると 11 Xn+1= xn+ 20 85 32 変形すると 11 32 Xn+1 xn 31 20 31 32 1 また X1 31 31 32 ゆえに Xn =- 31 31/ (-20 n-1 32 1 よって n→∞ また 32 30 limxn=lim no31 31 limyn=lim (2-x)=2- 1+0=and -20))} = 32 Q=-- a+ 32 31 数列{X-3は 1 |Xn+1= xn+ 特性方程式 11 20 8-5 の解 a= 公比 31 ラ 11 31 - 20 818 n→∞ 31 31 比数列。 y=2xから。 したがって, 点列 P1, P2, ...... は定点 31' 31 3230 に限りなく近づく。 一般に, x=a, y=b, xn+1=pxn+gyn, yn+1=rxn+syn (pqrs≠0) で定められる {x}, {yn} の一般項を求めるには, 次の方法がある。 方法1 Xn+1+αyn+1=β(x+αyn)としてα, β の値を定め, 等比数列{xn+yn} 用する。

ルーズリーフのやり方でやったんですけど、そっからどうすればわからなくて、解答と何が違うのかも含めて答えてくれると嬉しいです！

26 漸化式と極限(3) ・・・ 分数形 ... 数列{an} が α1=3, An+1= 3an-4 an-1 によって定められるとき [類 東京女子大] (1) bn = 1 An-2 とおくとき, bn+1, bn の関係式を求めよ。 (2) 数列{an} の一般項を求めよ。 (3) liman を求めよ。 n→∞ p.36 まとめ, 基本 26 指針 針 (1) おき換えの式bm= 1 an-2 ①の an-2に注目。 漸化式から bn+1 (= 1 an+1-2 の形を作り出すために, 漸化式の両辺から2を引いてみる。 なお,①のおき換えが与えられているから, an≠2としてよい。 (2) まず (1) の結果から一般項bnをnで表す。 (1) 漸化式から an+1-2= 3an-4 解答 -2 an-1 検討 ゆえに an-2 an+1-2= an-1 両辺の逆数をとって 1 an-1 An+1-2 An-2 an+1= SE 分数形の漸化式について 一般項を求める方法は, p.36 の ⑥参照。 rants panta そのとき,特 1 1 よって = +1 an+1-2 an-2 性方程式 x= rxts の解 px+q したがって bn+1=6n+1 がx=α (重解)ならば, (2) (1)より, 数列 {bn} は初項b1=1, 公差1の等差数列で bm= あるから b=1+(n-1)・1=n 1 (または an-a bn=an-a) とおくと, よってie an- (3) liman=lim n→∞ n- 1 1 +2=-+2 = 1 bn +2=2 -2)= n $8 般項 αn が求められる。 CTUL 1 |bn= an-2 から -milan- -2= 1 bn

⑶で右側に小さく書いてある⑵に繰り返し用いるとはどういうことですか？ あと最後のlim|an-3|=0でどうしてliman=3になるんですか？

2 例題17 漸化式と極限 (3) ( a=1, an+1=√2a+3 (n=1,2, 3,) ......) で定義される数列{an} について,次の問いに答えよ. (1) 数列{an}が極限値 αをもつとき,α の値を求めよ. (2)(1)のαについて, la,-allan-α を示せ .na (3) lima=α であることを示せ . [考え方] TAN 解答 11-0 P (1) lima=α のとき, liman+1=α であるから, 1140 1148 これを与えられた漸化式に代入して考える. 求めた αが条件に合うか確認が必要 (2) (1)で求めたα を代入し,漸化式を用いて不等式の 左辺を変形する. LAM (3) 実際に lima" を求める. はさみうちの原理を利用する。 21-0 赤客室 ぜったい④ (1) lima=α とすると 漸化式 an+1=√2a+3より 両辺を2乗して, 03/ **$²9 +1 はさみうち使う時 左辺が正って = An 16 S α=-1 は ①を満たさないから, (2), lax+1-31 = √/2a₂+3 -31-01-20 +3-=-3 M/(2a+3)-91 1 √2an+3 +3 ②. lim2(12/3) 12・ n1 → ∞ liman=liman+1=α なので、 1200 12 534 a = √2a+3 ① 11 → 00 α²=2a+3 より, lim|a-3|=0 √2an a=3 -12an -61 ...... a=-1, 2 √2an+3+3 -lan-31≤an-31 3 ここなくす いいたいために 絶対値記よって、lamm-31 / 3 14.31 は成り立つ。 F.DE (3) (2)より10-31≦0/2/31lan-1-31 × ここで、a=1 より 0a-312 (23) 2 An-1 2\n-1 n-1 (²) Ian-2-31 ≤...(3) |a₁-31 ai Coll= = 0 とはさみうちの原理より, **** YA y=x/ J O a2a3 i=1 もどき 120m+3+3 120+3分子の有理化 11 →∞ よって, lima =3 となり、題意は成り立つ 22100 $=0 お二期間 y=√2x+3 無理方程式 (p.98参照) x a²-2a-3=0 (a+1)(α-3)=0 α=-1, 3 が ① を満 たすか確認する. 第1章 特性方程式 みたいにauthous をdとかおいて、 √2a+3≧0より, √2an+3+3≥3 √2an+3+3 101. 1 3 1200) (2)をくり返し用いる. |a-3|=|1-3| =|-2|=2

(3)のn大なりイコール2とありますがこれはなぜですか？

152 00000 重要 例題 95 漸化式と極限(はさみうち) [類 神戸大] 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ......) によって定められる数列 {an} について,次の (1) (2) (3) を示せ。 (2) 3-an+1<. (1) 0<an<3 ART O SOLUTION 求めにくい極限 CHART はさみうちの原理を利用薫さら 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 各小問を次の方針で 考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから, 数学的帰納法を利用。 0<a<3 を仮定する。 (2) 漸化式を用いて an+1 を an で表し, (1) の結果を利用する。 (3) (1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を使って, 数列 {3-an ..... の極限を求める。 ・・・・・!!! はさみうちの原理 すべての自然数nについて ann≦b のとき liman=limbn=α ならば limC=α →∞ 11-00 解答 (1) 0<a<3 ①とする｡ [1] n=1のとき, 条件から0<a<3 が成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1 のとき <(3—an) 3-ax+1=3-(1+√1+ax)=2√1+ak ここで, 0<a<3 の仮定から 1 <1+an<4 ゆえに 1 <√1+a2 よって, 2-√1+αk >0 であるから 3-4k+1 0 すなわち k+1 <3 また,漸化式の形から明らかに 0<ak+1 (3) liman=3 ゆえに, 0 <ak+1 <3 となり, n=k+1 のときにも ① は成 り立つ。 [1], [2] から すべての自然数nに対して①が成り立つ。 ■3-an+1=3-(1+√1+an)=2√1+an (2−√1+an)(2+√1+an) _4-(1+an)_²1 2+√1+an 2+√1+an -(3-a) ( 141 基本事項 3 基本88 数学的帰納法で示す。 ◆n=k+1 のときも 0 < ak+1 <3 すなわち 0 < akt かつ ak+1 <3 が成り立つことを示す。 漸化式から。 分子を有理化。 3-An ここで(1)の結 2+√1+a, </ 3-an+1< <1/13(3-4) (2)の結果から、n=2のとき ② ③ から よって ここで, lim a<3-a<3(3-a-1<3) (3-2)+LE? 0<3-a₂ < (3) m (2) (3- 100 < (1) ²(3-as) がって n-1 liman=3 11-00 lim (3-an)=0 121-00 >3であるから (3-as) 72-00 2+√ltan (3-α) = 0 であるから a>b>0のとき 1 1</ -(3-On) 3 (3-0) 3-an-1 小さいから成り立つ</a 仮定すると, liman+1= α であることから, α=1+√1+α が成り立つ。 |これから,α-1=√1+α であり,この式の両辺を2乗して a²-3α=0 整理すると ゆえに,α(α-3)=0,α> 0 から, α=3であると予想でき る。これを.149のズームUPのようにグラフで確認して みると、 右の図のように極限値が3となることが確かめら </1/3 (3-an-²) はさみうちの原理 INFORMATION 複雑な漸化式で定められた数列の極限 /an+1=1+√1+an, 0<a<3 で定義される数列{an} について, lima =α であると 72-00 y 3 y=1+√1+x 21 153 10 a₁ y=x Az az 3 れる｡ なお,この無理式で与えられた漸化式から一般項 α を求め, 直接 lima =3である ことを示すことは難しいので, lim (3-α)=0を示そうとして (2) の誘導の不等式が 与えられているのである。 2240 4章 10 数列の極限 PRACTICE・・・ 95 ④ u=a (0<a<1), an+1=-120'12/24%(n=1,2,3,..) によって定められる数 列{an} について,次の (1), (2) を示せ。 また, (3) を求めよ。 (1) 0<an<1 (2) r=a2のとき 1-ty≦r (1-an) (n=1, 2, 3, ......) と演習) [鳥取大) ヨチャート の紹介 本質を 全に定 に問 関大 参考書 題学信

数3です。 この式変形を教えてください。

192 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･ はさみうちの原理 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ･･････) を満たすとき (2)3-an+1< 1/12 (3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<a<3 を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 ! 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて n≦an≦gn のとき limp=limgn=α ならば n-00 7140 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+an>2> 0 練習 ③ 113 .….... ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ①は成り立つ。 3-An -(3-an) (2) 3-an+1=2-√1+an 2+√1+an (3)(1),(2) から 0<3-an S したがって liml 2 (13) (34)=0であるから 11-00 lim(3-an)=0 1400 liman=3 n-1 ≤ (1) ² (3-a₁) 3 n-00 LE a=2, n≧2のとき an liman = a n→∞ 3 2 [類 神戸 p.174 基本事項 3 基本 105 van-1 1 数学的帰納法による。 ◄0<a₁<3 KOM 0<a から √1+an>1 an<3から √1+ak <2 <3-α>0であり、a>0か ら 2+√1+an>3 n≧2のとき, (2) から 3-an< (3-an-1) <(1) ²(3-an-2)..... n-1 · < (-/-) "¹¹ (3-as) 3 を満たす数列{an}について

(3)ですが、漸化式として扱うと3枚目写真のようになってしまい、解答と異なってしまうのですが、どこから誤りでしょうか？

00000 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) 9 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ....･･) を満たすとき (1) 0<a<3を証明せよ。 (3) 数列{an}の極限値を求めよ。 はさみうちの原理 (2) 3-an+1<1/13 (3-an) を証明せよ。 [類 神戸大] p.174 基本事項 3 基本 105

極限の問題です。黄色マーカで塗った箇所が分かりません。解説をお願いします。

8. α1=0, an+1= 4 0≦am <1が成り立つことを 数学的帰納法で示せ . が成り立つことを示せ . 19 はさみうちの原理 an² +3 (2) 1-an+1<- 2 (3) liman を求めよ. 1-an (1) により, (n=1,2,………) で定義される数列{an}について 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1= f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある. 1° 4m の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, lim an+1=α であるから, αはα = f(α) を 満たす. これからαの値を予想する. 22-00 12-00 2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f(α) の辺々を引くと, an+1- α = f (am) - f (α) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦k<1である定数 の形の不等式を導く.すると,|an-a|≦klan-1-a|≦k2|an-2-α|≦….≦kn-1|α1-α| · 0≤|an-a|≤k"−¹|a₁-a| 解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n=kでの成立, つまり 0≦x<1が成り立つとすると, ak+1 について, 0²+3 12+3 ·≤Ak+1 <- 0≦ak+1 <1 4 4 よってn=k+1のときも成立するから,数学的帰納法により示された. 2+3 an 1-a₂² (2) 漸化式から, 1-an+1=1-- 1+ an 4 4 4 1+an 1+1 4 1 2n-1 limk"-1|41-α|=0であるから, はさみうちの原理により, an-α|→0 12-00 (なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →αとは結論できない) 0≤1-an<(1-an- 4 2 1-an+1</(1-an) (3) 1-a>0と, ① を繰り返し用いることにより, 1 22-1 1->0であるから, 1½ (1-an-1) < -½ 2₂ (1-ªn-2) < ···<; (1- →0 より はさみうちの原理から lim (1-an)=0 n-00 9 演習題 ( 解答は p.27 ) 1 4-a,2² In. (1-an) -(1-a₁)= .. 1 2n-1 liman=1 818 (岡山県大情報工-中) ‥. an→a (n→∞) (n=1, 2, ...) をみたす. 0≦x<1のとき,02≦ak2/12 漸化式を用いて1-Qn+1 を an で 表す. 本問の場合, 求める極限値を α として, 1° を使うと、 a²+3 4 からαの値が予想できる. 数列 an (n=1, 2, …) は, α=0, an+1= (1) すべての自然数nに対し, 0≦a < 1 が成り立つことを示せ . (2) 3次方程式-4x+1=0は0<x<1においてただ一つの解αをもつことを示せ。 (3) (2)のαに対し lau-al≤8\a-a! (n=1 ? …) tini hii. a= ∴. α=1,3 (1 (2 (E

どうして0≦と決められるのでしょうか？

漸化式と極限(3) α=1, an+1=√2an+3 (n=1, 2, 3, ......) で定義される数列について、次の問いに答えよ。 (1) 数列{an}が極限値αをもつとき, αの値を求めよ. Check 例題105 「解答 Focus (2) (1)のαについて, antials // lanal を示せ。 (3) limana であることを示せ。 818 考え方 (1) liman =α のとき, liman+1=α であるから, これを与えられた漸化式に代入して考える。 求めた αが条件に合うか確認が必要. (2) 有理化を利用して左辺を式変形する。 Lo (3) 実際に liman を求める. はさみうちの原理を利用する。 72-00 (1) liman=α とすると liman=liman+1=α なので、 8218 漸化式 an+1=√2+3より, a=√2a+3 両辺を2乗して, Q2=2a+3 より, α=-1 は ①を満たさないから, (2)|an+1-3|=|√2an+3-3|=| よって, 1 無限数列 1 √2an+3+3 2, lim 2. n100 n→∞ 2 √2an+3+3 ここで, α=1 より, 2n-1 3 lim|an-3|=0 (3) (2)より,|an-3|≦ 2/21an-1-312) =(-²) ²1a₁-2-3 |2an-6| -lan-3| ≤²/3an-31 2 |an+1-3|≦ // lan-3|は成り立つ。 α=3 ↑ (2an+3)-91 √2an+3+3 α=-1,3 n→∞ 2n-1 0≤lan-31≤2 (2¹¹ =0 とはさみうちの原理より, bast よって, liman=3 となり,題意は成り立つ. liman = α = liman+1=a 1218 YA *** 10 2n-1 | an-2-3| ≤... (²²¹a₁-31 習 α=1, an+1=√an+2 (n=1,2,3,……) 15 で定義される数列{a.) について, lim an を求めよ. 11100 ** y=x/ a₁=1 das 235 y=√2x+3 ²-2a-3=0 +(a+1)(a-3)=0 無理方程式 (p.283 参照) x 第3章 α= -1, 3 が ① を満 たすか確認する. (1)で求めたαを代入 し,漸化式を用いて 不等式の左辺を変形 する。 分子の有理化 √2+3≧0より、 √2an+3+3=3 11 1 √2an+3+3 3 (2) をくり返し用いる. |α-3|=|1-3| =|-2|=2

数列の問題です。画像2枚目には問題(2)のグラフ的な考え方が載っているのですが、この考え方を解答とするのはダメでしょうか？ 二項間漸化式が与えられている時のa_(n+1)=a_nとなるa_nというのは極限値そのものであるような気がします。

43 漸化式と極限 (1) ☆☆ (2) 安 a=1, an+1= 1/12an+1 (n=1,2,3,…) で定まる数列{an} につい ) 3 て 次の問いに答えよ. (1) 一般項an を求めよ. (2) 数列{an} の極限値を求めよ. 44