例題19 2次関数の決定
関数 y=ax²-4ax+b (1≦x≦3) の最大値が8で, 最小値が−1である
とき,定数a,bの値を求めよ。
放物線 y=ax²-4ax+b が下に凸か, 上に凸かで場合分けをする。
解 y=a(x-2)^2-4a+b より, a≠0 のとき､この関数のグラフの軸は直線x=2
である。
(i)a>0 のとき
x=2で最小となるから, -4a+b=-1 ......①
x=-1で最大となるから、 5a+b=8 ...・・・
②2
① ② より
a=1, b=3
これは、条件 > 0 に適する。
考え方
(ii) a <0 のとき
x=2で最大となるから、
x=-1で最小となるから､ 5a+b=-1
③④より
a=-1,b=4
これは,条件 α <0に適する。
-4a+b=8 ...... 3
(ii) α=0 のとき
y=b となり、 定数関数となるから,題意に適さない。
(i)~(ii)より, α=1, b=3 または α=-1, b=4
8
18
3
Xx2
20
3
x=21
