千葉大学 理系 図形と式 (1998~2020)
問題
at を実数とするとき, 座標平面において, x2 + y2-4-t (2x+2y-a) =0で定
される図形 C を考える。
(1) すべてのtに対してCが円であるようなαの範囲を求めよ。 ただし,点は円とみ
なさないものとする。
(2) α = 4 とする。 tがt>0の範囲を動くとき, Cが通過してできる領域を求め、
せよ。
(3) α = 6 とする。 t が t>0であって, かつCが円であるような範囲を動くとき,C
通過してできる領域を求め, 図示せよ。
「解答例
(1) C:x2+y2-4-t (2x+2y-α) = 0より,
(xt)+(y_t)2=2t2-at +4... ①
[2006]
① 円を表す条件 2t2 at +4>0が, すべてのtに対して成立するためには,
D=α2-32<0, -4√2 <a<4√2
(2) a=4のとき,C:x2+y2-4-t (2x+2y-4)=0.②
tt>0の範囲を動くとき, Cが通過する領域は②をtの方程式としてみたと
t>0の解をもつ条件として表される。
まず, 2x+2y-4=0
③ のとき, t>0 の解をもつのは,x2+y-40.....
の場合だけである。ここで,③④を連立することにより(x, y) = (2,0), (0,
となり,Cはこの点を通過する。
x2+y2-4
次に, 2x+2y-4≠0のときは,t=
となり,
2
2x+2y-4
2
x² + y²-4
>0, (x2+y2-4) (x+y-2)>0
2x+2y-4
-2
0
よって, C が通過する領域は右図の網点部となる。 ただし,
点(20) (02) 以外の境界は含まない。
- 2
