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【2】 f(x)= sinx (0≦x≦x) とする. 次の問いに答えよ.
4- sin²x
(1) f(x) の増減を調べ, 極値を求めよ.
(2)0≦x≦のときF (πーx) =F(x) を満たす連続関数F(x) に対し,
SxF(x)dx=f" (π-x) F(x) dx
が成り立つことを示せ.
(3) 曲線C:y=f(x) とx軸で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立
体の体積Vを求めよ.
(40点)
考え方
(1) f(x)の導関数の符号を調べて, f(x) の増減を調べましょう.
(2) F(x)=F(x) を利用するために, π-x=t とおいて置換積分をしてみましょう.
(3)一般に,y=f(x) で表された曲線を境界線にもつ領域のy軸まわりの回転体の体積を求める際, y=f(x) を
x=f-l(y) と変形して, y 軸に垂直な断面である円の面積を求めて積分します.本問ではf-l(y) を具体的に求めら
れないので,一旦それをx=x1 (y) やx=x2(y) などとおいて立式し, 置換積分法によってxによる積分に持ち込みま
しょう.その後, 部分積分法を利用すると(2)が利用できます.
【解答】
f'(x) =
cost:(4−sin’x)−sinx.(-2sinxcosx)
(4- sin²x)²
cosx(4+sin x)
(4- sin²x)²
よって, f'(x) の符号と cosxの符号は一致
し, f(x) の増減は右のようになる.
$4+sinx>0
x 0
...
...
π
ゆえに、f(x) の極値は
f'(x)-
+
極大値 13
π-x=t とおくと,
(答)
f(x)
0
2013
(4-sin'x)>0
\
0
dx
x
0→> π
=-1,
dt
t
π → 0
であるから
xF(x) dx = f(x-(x-1)-(-1) dt = f(x-1)^(t) dt
..
*xF(x) dx = f(x-x)F(x) dx
(8)(1)より曲線C:y=f(x)の概形は右図のよ
うになる.
C0≦x≦の部分をx=x(y),
2≦x≦の部分をx=x2(y) とおくと,
v = [*x(x(9))* dy = [*x(x. (9)* dy
V
x(y)=xのとき、y=f(x) (0x≦)より、
-13y
(証明終わり)
◆【解説】 1°
JA
C
0
x(y) x2(y)
【解説】 2゜3゜
一数Ⅲ型 5-
