例題 37 ベクトルと軌跡
平面上に ∠A=90° である △ABCがある。 この平面上の点Pが
AP BP + BP・CP+CP・AP = 0 ･･･ ①
思考プロセス
を満たすとき,点Pはどのような図形をえがくか。
基準を定める
D
Go
・直
(1
(2
ますか
(3
①は始点がそろっていない。∠A=90°を使いやすくするため。
基準をAとし,① の各ベクトルの始点をAにそろえ
図形が分かるP(b) のベクトル方程式を導く。
例 直線: p=a+αや(カーan = 0 の形
円:1p-d=rや(カーム)(カーム)=0
Action» 点Pの軌跡は,P(n) に関するベクトル方程式をつくれ A
えがく
解AB=1, AC=c, AP = p とおくと,
始点をAにそろえる。
∠A=90° より
b. c = 0
このとき ①は
Bをかためる
2集より
円かない?
と予想。
+ ) + ( a − ) · (x − 1) = 0
p⋅ (pb)+(pb) • (p−c) + (b −c) · p=0
32-26-2c p=0
1³ - 2² ² (b+c) · b = 0
3
+
2
1
1 b + c | ² = 0
9
2
b+c
=
13
3
b+c
6
(1)
sこす動特P
= 15-b.c=0
(2)
2次式の平方完成のよう
に考える。
0
(祝)
る
k
t
k
よって
b+c
10より
例題 ここで,
で表される点は△ABCの重心Gであるか
20
だいたいこ
3
A
ブク軌跡から、②は
||GP| = |AG|
したがって, 点P は △ABCの重心
(2)
2円か垂Gを中心とし,AG の長さを半径と
(1)
| 重心G は, 線分 BC の中
点をMとし, 線分AM を
直二等分する円をえがく。
B
2:1に内分する点である。
線さま以
M
C
(3)
〔別解〕 (6行目までは同様)
b. {b
2
sa
(b+c)}=0
=0より,AE=2/22 (+)とおくと,
点PはAEを直径とする円である。
と
b+c
AP EP=0
このとき,中心の位置ベクトルは
であり,これは
3
△ABC の重心Gである(以降同様)
らまん次以お
As
満たす
