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392 第6章 微分法
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例 題 221
実数解の個数2)
V3次方程式 x-3a"x+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする。定
数aの値の範囲を求めよ。
考え方 例題 220 (カ. 391) のように定数を分離しにくい,このような場合は,次のように3次関
f(a).f(B)<0
数のグラフとx軸の位置関係を考える。
3次方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ
→ y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる
→(極大値)>0 かつ (極小値)<0
→(極大値)×(極小値)<0
y=f(x)
3次関数においては,
(極大値)>(極小値)
AV
w
解答 f(x)=x-3a'x+4a とおくと,
とプ)=3x-3a=3(x+a)(x-a), ··
セラ方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は,
ソ=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること,
つまり,
となることである。
(i) のより,f(x)=0 のとき,
a>0 のとき,
増滅表は右のよう
になる。
f(x) が極値をもっ
→f(x)=0 が異なる
2つの実数解をもつ
→f(x)=0 の
(判別式)>0
(極大値)×(極小値)<0
fs)
x=-a, a
(p.373 参照)
直接,増減表を書いて
極値を調べたが,
f(x)=0 の判別式を
使ってもよい。
判別式をDとすると,
D=-4-3(-3a°)
=36a>0
より,
(よか a<0, 0<a
(aキ0)
となる。
x
ーa
a
f(x) +
f(x)| 極大 極小
0
0
a<0 のとき,
増減表は右のよう
になる。
→x
ーa
x
a
-a o、a!
0
0
f(x) 極大 極小
a=0 のとき、f(x)=x° より, f(x)=0 の解は
A=0 (3重解)となり不適
個)f(-a)×f(a)%3 (2a°+4a)(-2α°+4a)
、フリート代入
0
=-4a°(a°+2)(a-2)<0
(i)より,aキ0 であるから, α">0, α'+2>0 より,
a-2>0
これより,
よって,求めるaの値の範囲は,
a<-2, (2<a
a<-(2,(2<a
注》例題 221 で, (i)f(x) が極値をもつ,
(i)(極大値)×(極小値)<0 のいずれかを
満たさないときは, 右の図のようにx軸
と3点で交わらない。
(i)と(i)をともに満たすことが重要である。
(極値をもたない)
f(a).f(B)>0
A
B
