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基礎問
127 確率の最大値
Pet
白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある. この袋の中から、
2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個, 赤玉1個である確率
をnで表すことにする. このとき, 次の問いに答えよ.ただし,
n≧1 とする.
(1) n を求めよ.
を最大にする n を求めよ.
精講
条件に文字定数nが入っていると, 確率はnの値によって変化する
ので,最大値が存在する可能性があります。 確率の最大値の求め方
は一般に,関数の最大値の求め方とは違う考え方をします.それは、
変数が自然数の値をとることと確率 ≧0であることが理由です。この考え方は、
パターンとして頭に入れておかなければなりません.
その考え方とは次のようなものです.いま, すべての自然数に対して > 0
のとき, ある自然数Nで,
n≦N-1 のとき,
すなわち,
n≧Nのとき,
が成りたてば,nで表されている確率は,
OSNO
Pn+1>1
Pn
pn+1 <1
Pn
P₁<P₂<<PN> ÞN+1>......
が成りたちます。だからn=Nで最大とわかります.
* LODED
Pn+1 と1の大小を比較すればよいのです. ここで,
pn
Pn+1>1 Pn+1-Pn>0
Pn
ですから、 Pn+1- 0の大小を比較してもよいのですが､ 確率の式という
のは、ふつう積の形をしていますので,わった方が式が簡単になるのです.
(1) pn=
20
pn+1.
Pn
(2)
..
5C₁*nC₁
n+5C2
=
参考
ポイント
演習問題 127
pn+1−1=
Pn
2.5.n
(n+5)(n+4)
10n
(n+5)(n+4)
(n+1)(n+4)
n(n+6).
10 (n+1) (n+5)(n+4)
(n+6)(n+5)
10n
よって,n<4のとき,
解
·X
4-n
n(n+6)
4-n
-=1+-
1² n(n+6)
n+11
Pn
n=4のとき, Ds=pa
答
: D₁<P₂<P3<Þ4=Þ5> P6> Þr>......
よって, n を最大にするnは, 4,5
n≧5のとき,P+1<1
Pn
AnCr=-
207
18S
n!
r! (n=r)!
Pn+1の形で1と大
pn
小を比較
<n(n+6)>0 だから
符号を調べるには分
子を調べればよい
確率の最大値は,わって1との大小比較
この式をかく方がわ
かりやすい
この考え方は確率以外でも
① 定義域が自然数 ②値域 > 0
をみたす関数であれば利用できます。
たとえば,f(n=n(n+3) などです. この関数は n=2で最大になりま
2"
すので、各自やってみましょう.
ある袋の中にn個の白玉が入っていて、そのうち5個に赤い印
がついている. その袋から, 5個の玉を同時にとりだしたとき 2
一個の玉に赤い印がついている確率をpとおく. ただし, n ≧8 と
する.このとき、次の問いに答えよ.
(1) n をnで表せ.
(2) を最大にするnを求めよ。
