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anil=pan+(nの1次式) 型の漸化式
基本例 117
(1)=1, an+1=3an+An によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
解答
an+1=3an+4n
指針 p.560 基本例題116の漸化式 pan+qのが定数ではなく、nの1次式となってい
る。 このような場合は､ n を消去するために 階差数列の利用を考える。
CHART 漸化式 ampan+ (n の1次式) 階差数列の利用
******.
an+2=3an+1+4(n+1)
n≧2のとき
②① から
anti-ambm とおくと
bn+1=36n+4
これを変形すると bn+1+2=3(6+2)
① とすると
an+2an+1=3(an+1-a²) +4
また
b1+2=a2-a+2=7-1+2=8
よって,数列{bm+2} は初項 8,公比3の等比数列で
bm+2=8.3" なわち、14m=8.3"-1-2
連
an=a₁+(8.3k-¹-2)=1+
=4.3" -2n-1
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
α=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.3" -2n-1
別アプ
ローチ
7-1
[R-1
......
(3)
8(3-1-1)
3-1
検討 {an-(an+β)} を等比数列とする解法
(*)
--2(n-1)
①00①
4/230 1/300
基本116
an+1=3an+4nが, an+1f (n+1)=3{an-f(n)}
βの値を定める。
①から
an+1-{a(n+1)+B}=3{an-(an+B)}
ゆえに an+1=3an-2an+α-2β
これと an+1=3an+4n の右辺の係数を比較して
よって
[参考] (*)を導いた後, an+1- an=8.3”-1-2 に ① を代入して 4 を求めてもよい。
834-1)-2n
①のnにn+1 を代入する
と②になる。
差を作り, n を消去する。
<{bn}は{an}の階差数列。
a=3a+47²5 a= 2
<az=341+4・1=7
-563-
-an-army
Kn≧2のとき
n-1
an=a₁ + Σbk
k=1
① 初項は特別扱い
例題は an+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+βとおき,
・①の形に変形できるように α,
-2a=4, a-28=0
3章
15
新
化式と数列
α=-2, β=-1
ゆえに
f(n)=-2n-1
①より,数列{an-(-2n-1)} は初項a,+2+1=4,公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4.3"-1
したがって
an=4.3" 1-2n-1
一般頂を求めよ。
