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考え方 一直線上にない3点を通る平面はただ1つ決まるから, 直線上に適算な2島。
を含み,点A(1, -2,3) を通る平真。
平面の方程式の決定
例題 397
o
直線2:xー1=とー1
2
ス+1
2
の方程式を求めよ。
その2点と点Aを通る平面の方程式を求める。
解答 x=1, x=0 として,直線上の2点B(1, 1, -1)
C(0, -1, 1)を定める。
一直線上にない3点A, B, C を通る平面上の任意の点
をP(x, y, 3)とする。
AF=sAB+tAC (s, tは実数)が成り立ち,
AF=(x-1, y+2, z-3), AB=(0, 3, -4), の AC)
AC=(-1, 1, -2) であるから,
(x-1, y+2, z-3)=s(0, 3, -4)+t(-1, 1, -2)
よって、
x-1=-t, y+2=3s+t, z-3=-4s-2t
これより, s, tを消去すると, 気ち、 古e
2.x-4y-3z=1 tは
Mm
x=1, 2なとでい。
町 (
A SAB
a
の方程式で表現することはさな
(別解) x=1, x=0 として, 直線e上の2点
B(1, 1, -1), C(0, -1, 1)を定める。
また,平面αの法線ベクトルを n=(a, b, c)
(nキ0)とする。 3点の座標を代入し
AB=(0, 3, -4), AC=(-1, 1, -2)だから,もよい。
1LABより,
カLACより,
これより,元の1つは,
a=2, b=-4, c=-3
したがって, 求める平面の方程式は,法線ベク
トルが n=(2, -4, -3) で, 点A(1, -2, 3)
を通るので、
平面αの式を
ax+ by+cz=d
とおき,平面aを選
n.AB=36-4c=0
n·AC=-a+bー2c=0
なお,点Aのほか、
線!上の適当な2点
とればよい。
2(x-1)-4(y+2)-3(z-3)=0
よって, 2.x-4y-3z=1
