基礎問
59 微分可能性
関数 f(x) を次のように定める.
log.x
(x≧1)
mily
f(x)={
IC
x²+ax+b (x<1)
このとき 関数 f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め
よ. ただし, lim
log (1+h)
-=1 は用いてよい.
105
h→0
h
精講
f(x) が x=a で微分可能とは,f(a) が存在することを意味しま
すから,ここではf' (1) が存在することを示します.
定義によると lim
f(1+h)-f(1)=f(1) ですが,1+hと1の大
h→0
h
小,すなわち, h0 とん<0 のときで f(1+h) の式が異なるので, ん → +0.
ん→0の2つの場合を考え、
lim
-= lim
f(1+h)-f(1). f(1+h)− f(1)
52 左側極限,
ん→+0
h
h--0
h
右側極限
が成りたてば
012
f(1+h)− f(1)
-mail
lim
が存在する
h→0
h
ことになり、目標達成です. これだけで α, bの値は求
められますが,ポイントにある性質と, 連続の定義を利
使用してαと6の式を1つ用意しておくと, ラクに a, b
の値を求められます。
153
解答
① まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ.
.. lim (x2+ax+b)=0
x→1-0
x→1
よって,1+a+b=0………① 条件の1つ
このとき
log1=
-=0
1
f(1+h)-f(1)
lim
= lim
1/log(1+h)
ん→+0
h
h→+0 h
1th-0
