練習
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x+y^2=5と直線 y=2x+mについて, 次の問いに答えよ。
教 p.99
(1)円と直線が共有点をもつとき, 定数mの値の範囲を求めよ。
(2)円と直線が接するとき, 定数の値と接点の座標を求めよ。
針円と直線の位置関係 円の方程式と直線の方程式からyを消去して,xにつ
いての2次方程式を作る。これを解くと, (共有点があれば) 共有点のx座標
が求められるが,円と直線の位置関係を知るには,この2次方程式の判別式
Dの符号を調べればよい。
(1) 共有点をもつ共有点は2個または1個 D≧0
(2) 接する→共有点は1個
D=0
解答 x2+y=5とy=2x+mからyを消去すると
x2+ (2x+m)=5/
整理すると 5x2+4mx+(m²-5)=0 ...... ①
判別式をDとすると
1/2=(2m)2-5(m²-5)=-(m-25)
(1)この円と直線が共有点をもつのは, D≧0のときである。
よって, m²-25≦0より -5≤m≤5
(2)この円と直線が接するのは,D=0のときで
ある。
よって, m²-25=0より
m=±5
また, 方程式 ① が重解をもつとき,
その重解はx=-
4m_2
2･5
m
5
この値をy=2x+m に代入すると
2
5
y=2( — — — — m) +m=— — — m
1
5
y=2x+m
v√5
X
0√5.
m
であるから,接点の座標は(-/1/23m, 1/3 m) と表される。
L=5のとき (-21), m=-5 のとき (2,-1) 劄
