104 第2章 2次関数
例題 44
最小値の最大・最小
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x の関数 f(x)=x2+3x+mのm≦x≦m+2 における最小値をgと
おく. 次の問いに答えよ. ただし, m は実数の定数とする.
(2)
(1)最小値g をmを用いて表せ.dotup.
(岐阜大・改)
(2)の値がすべての実数を変化するとき, gの最小値を求めよ.
考え方 (1) 例題 43 と同様に考える.軸が定義域に含まれるかどうかで場合分けする。
(2) (1)より,mの値を1つ決めると,g の値がただ1つ決まる. よって,(1)で求めた
mの関数とみなし、グラフをかいて考える
(1)/(x)=x'+x+m=(x+2)+m-2 小豆
解答
グラフは下に凸で, 軸は直線 x=-
2
$301>
3
(i) m+2<--
3のとき
2
e+
小
場合分けのポイント
3は例題 43 (1) と同様
つまり,<-1のとき
20001
目はグラフは右の図のようになる。最小最大
したがって, 最小値
g=m²+8m+10(x=m+2)
mm+2
3
3
(ii) m≤-
≦m+2のとき
x= 2
2
7
つまり、12sms/2/2のとき
3
が区内
軸が区より左側
+2 0.
グラフは右の図のようになる.
したがって, 最小値
最小
432
m
m+2
Stalton
9
(s=x) ex
g=m-4
x=-
2
x=-
32
から、
(8=x) 8
(-
3
(iii) m>- のとき
2
グラフは右の図のようになる。
したがって, 最小値
g=m²+4m (x=m)
(2)(1)より,gをmの関数とす
ると,グラフは右の図のよう
になる.
72-
32
のとき、
-4
TT
よって, gの最小値は,
"
(i)
-6(m=-4 のとき)
| 最小
mm+2
Sp>I (vi)
94 (iii)
m軸,g軸となる。
とに注意する.
(m) 大量
15
64
最小
(ii)
23
