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48滑車につながれた物体の運動[20○○ ○大]
図のように1つの定滑車と, 2つの動滑車 (1 と 2)
が天井からつり下げられている。これら3つの滑車
は同一の質量 M [kg] をもつものとする。使用して
いるすべてのひもは伸びず, その質量は無視できる
ものとする。動滑車2の中心と床面上に置かれた質
量m」(kg]の物体をひもでつないでいる。 また, 質
量m。(kg]のおもりを定滑車にかけられたひもの端
(力点)に取りつけている。おもりの質量 m,は物体
の質量 m」よりも大きいと仮定する(m,>m,)。 図
において,T[N]はおもりをつっているひもの力(張
カ)であり, T.(N] は動滑車1の中心につけられた
ひもの張力,T2 [N] は動滑車2の中心につけられた
ひもの張力である。初期状態において, 動滑車2と
質量 m」の物体をつないでいるひもが,たわまず,
なおかつ, 力がはたらかないように質量 m,のおも
天井
M
定滑車
M
g
T
動滑車1
2=0
M
T」
m2
動滑車2
Tz
2
m
床
りを手で支える。この状態において,定滑車にかけたひもの端が, 鉛直下方にとった座標
2 (m]の原点(z=0m) にあると仮定する。質量m,のおもりを支えていた手をそっとは
なすと,質量m,のおもりは初速度0m/s で鉛直下方に加速度 a [m/s?] の等加速度運動
を開始した。このとき,すべての滑車と物体とおもりは鉛直方向にのみ動き, 振動はしな
いものと仮定する。滑車と物体とおもりの動きに対する空気抵抗は無視できる。3つの滑
車において摩擦ははたらかず, 滑車の回転に伴う回転エネルギーは無視できるとする。重
カ加速度の大きさをg[m/s°]とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) 3つの滑車の質量 M が無視できるとき(M=0kg), おもりの等加速度運動の開始後
に,ひもにはたらく張力T, T, T,の大きさの比T:T,: T。を答えよ。
(2) 3つの滑車の質量 M が無視できるとき, おもり(質量 m。) についての運動方程式を
示せ。
(3) 3つの滑車の質量 M が無視できるとき, 物体 (質量 m,) が上昇する加速度の大きさ
はおもりの加速度 aの何倍であるか答えよ。
(4) 3つの滑車の質量 M が無視できるとき, おもり(質量 m)の加速度aを求めよ。
(5) 3つの滑車の質量 M が無視できるとき, 物体(質量 m,) の底が床面を離れてから高
さ1m]に至るまでの時間t[s] を, 加速度aと高さ!を含む形式で答えよ。また, 物
体の底が床面から高さ1になった瞬間の物体の上昇速度の大きさ、(m/s] を,加速度
aを含まない形式で求めよ。 ただし, 物体が高さ に到達するまで, おもりは一定の
加速度aで運動を続けるものとする。
(6) 3つの滑車の質量 Mがおもりの質量と等しく M=m,であるとき, 動滑車1の中心
につけられたひもの張力T,を求めよ。また, 動滑車2の中心につけられたひもの張力
T。を求めよ。ただし, 質量 m,を含む形式で, それぞれ答えること。また。おもりの
加速度aを求めよ。
(3) -倍 ()
4(4m2-m)
mi+16m。
解答(1) 1:2:4
(2) m2a=m:g-T
2(4m2-m)
V m」+16m。
22m,m。
m;+21m。
21
(5) t:2
5)
(s/u) 16-
4(mg-m)
m」+21m。
11(m,+ m<)m?
(6) Ti:
m」+21m。
-g [N), T2:
g (N), a:
