重要 例題 144 微分可能であるための条件
関数f(x)を次のように定める。
f(x)=
1x3+(1-a)x2(x<1)
f(x)がx=1で微分可能となるように,定数a,bの値を定めよ。
指針 x=1で微分可能微分係数 f'(1)=lim-
ƒ(1+h)-f(1)
h
解答
lim
h→+0
よって
ゆえに
したがって, ① から
lim
h→-0
関数f(x)がx=1で微分可能であるとき, f(x)はx=1で連続 |
であるから
limf(x)=f(1)
すなわち
ゆえに、
⇔lim
ん→+0
x→1
lim f(x)= limf(x)=f(1)
x→1-0
ax²+bx-2 (x≧1)
f(1+h)-f(1) = lim
=
ngh
h→+0
h
‚.___ƒ(1+h)−ƒ(1) _
(h
ゆえに a=
クセ
(右側微分係数)
この口が成り立つことが条件である。
また,関数 f(x) が x=1で微分可能連続であるから、連続である条件より,まず
aとbの関係式が導かれる。
x-1+0
1°+(1-α)・12=α・12+6・1-2
2a+b=4..
1
2
=
- lim (ah+2a+b)
h→+0
=2a+b=4
h-0
=lim
ƒ(1+h)−ƒ(1) が存在
h
=5-2aY
よって,f'(1) が存在するための条件は
h-0
ƒ(1+h)−ƒ(1)
h
(左側微分係数)
=lim
h-0
a(1+h)²+b(1+h)−2−(a+b−2)
ach
[芝浦工大]
基本142
このとき, ① から
( = 有限値)
b=3
245
x→10のときは,
x<1として考え、
x1+0のときは,
x>1として考える。
(1+h)³+(1-a)(1+h)² −(a+b−2)
-0
h
DEN
(2)
=lim{h²+(4-a)+5-2a-2a+b-4①から1m
ん→-01
(2) 2a+b-4=4-4=0
= lim{h²+(4-a)h+5-2a}
4-5-2a Gfx)p
x=1のとき
f(x)=ax²+bx-2
であるから
f(1)=a+b-2
5章
18
微分係数と導関数
< ① から b =4-2a
D(13
