解説して欲しいです

数学Ⅱ: 式と証明, 複素数と方程式 x>0,y>0,xy=4のとき,x+yの最小値を求めよ。 P 25

解説のマーカーが引いてある部分でなんで実数であるから＝0になるのですか？

応用問題 88kは実数の定数とする。 方程式 x2 + (3+2i)x+(2k+4i)=0が実数解をもつよ うに,kの値を定めよ。 また, その実数解を求めよ。

マーカーを引いたところが分かりません。 どうやってこの形の式にするんですか？

思考プロセス 問題 118 複素数の実数条件 純虚数条件 z≠ ±i を満たす虚数zに対して, w= (1)w が実数ならば, z=1である。 Z 1+22 (2)w が純虚数ならば,も純虚数である。 ★★★☆ とおく。次のことを示せ。 2/2018 ] = &+ (S) α = a + bi(a,bは実数) に対して, a = a-bi より b=0 a = 0 かつ 60 αが実数 α = α α が純虚数 α = -a, α = 0 nonbA 条件の言い換え 例題 116 (1)w 実数 ↓ w=w wが純虚数 I w=-w lw≠0 ← ← 2 Z 1+22 1+22 2 1+22 1+z2 結論の言い換え A +m)|2|=1/ I →zz=1-012+ zが純虚数 ↓ 2 = -2 [z≠0 (-1)+(8) Action» 複素数が実数ならば=z, 純虚数ならば=z, z=0 とせよ (1)w が実数のとき, w=w が成り立つから 0.0 z = a + bi について + が実数⇔b=0 Z 2 1+(z)2 1 +220] + <2=2 2 Z = より 1+2 よって 1+22 z(1+z^) = z{1+(z)2} = =() B 用する。 (zz-1)(z-z) = 0 zは虚数より zzであるから すなわち, |z|2=1より ||=1 zz-1=0 22(2-2)-(2-2)=0 za+biについて 三(+yzが虚数⇔60 1801) = (8+b)(+0) (2)が純虚数のとき, w=-w であるから (1)より 1+22 よって 1+22 Z = 1+(z) 2 (+22)=z{1+(z)} Z 1+22 zz+zz+z+z=0 (z+1) (z+z) = 0 Tel: 22(2+2)+(万+z)=0 2+2=0 zz+1= |z|2+1>0であるから 例題 116 すなわち 2 = -2 また, w が純虚数のとき, w≠0 であるから したがって, zは純虚数である。 練習 118 お z = 0 z = a + biについて 虚数 a=0, 60 2+0

v-u をひとまとめにして計算するとはどういうことでしょうか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

31円 (Ⅲ) 2つの複素数え、wがあって、2つの式 | z-i|=1, w=(1+i)z が成 たっている.このとき、次の問いに答えよ. (1) 2は複素数平面上で,どのような図形をえがくか. (2)は複素数平面上で,どのような図形をえがくか. 精講 (1)|zi=1は,点ぇと点えとの距離がzの位置にかかわらず1 という意味です。 (2)解答は2つありますが、いずれも考え方は数学Ⅱの軌跡の考え 方(ⅡB ベク45)を使っています.すなわち,他の変数を消去という 考え方です. 1. z=x+yi, w=u+vi とおいて, u, vの関係式を求める方法 (30) II. | z-i|=1 を利用して,|w-a|=r 型を目指す方法 い。 2つとも解答にしてみますが、できるだけII を使えるようになってくださ 解答 (1) |z-i|=1 より, 点と点の距離はつねに1. よって, zは点を中心とする半径1の円をえがく。 (2) (解I) z=x+yiw=u+vi(x, y, u, vは実数) とおくと, w=(1+i)z=(1+i)(x+yi)=(x-y)+(x+yi だから w=(1+izより,u=x-y, v=x+y .. ✓ x=1½ (u+v), y=1½ (v-u) (*) ここで, z-il=1 に z=x+yi を代入して |x+(y-1)i|=1 x²+(y-1)²=1) (*)を代入して, 1/2(2+b)2+1(v-u-2)²=1 (u+v)2+(u_u)2-4 (v-u)+4=4 2u2+2v2-4v+4u=0 vuをひとまとめ にして展開すると 計算がラクになる

赤線部の1/√2というのはどこから出てきたのでしょうか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

29円(I) 複素数とは|z-(1+6)|=1………… をみたしている。このとき,次の 問いに答えよ. (1)点zは複素数平面上で,どのような図形をえがくか. (2) |-2|の最大値、最小値とそれらを与えるを求めよ. 精講 3 (1)①は点1+iと点zの距離はつねに1であることを示しています (2) z-2は点と点2の距離を表します. 解答 (1) 点と点1+iの距離は1だから, zは点1+iを中心とする半径1の円をえがく. (2)P(z),A(2) とおくと, |z-2は線分APの長 さを表すので, A と1+iを通る直線と円 |z-(1+i)|=1の交点を図のように B, C とする と, APの最大値は AC で,最小値は AB よって, 最大値は√2+1, 最小値は√2-1 a √2 1B 1 2 -1 次に, α=1+i, β=1-i とおくと,最大値を与え るは a+ 1/2(B)=1+i_1-1_(2-1)+(√2+1)i = √2 (2-√2)+(2+√2) i また,最小値を与えるは a+ -B=1+i+ 2 2 √2 1_i__ (√2+1)+(√2-1)i √2 = (2+√2)+(2-√2)i 2 √2 D(1+i) BL

赤線部のように分かるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️ お願いいたしますm(_ _)m

31円 (Ⅲ) 2つの複素数z, w があって、 2つの式|z-i|=1, w=(1+i)zが成 (1) 2は複素数平面上で,どのような図形をえがくか:4 りたっている. このとき、 次の問いに答えよ (2)は複素数平面上で,どのような図形をえがくか. 精講 (1)|z-i=1は,点ぇと点との距離がzの位置にかかわらず1 という意味です。 (2)解答は2つありますが,いずれも考え方は数学II の軌跡の考え 方(IIB ベク45) を使っています.すなわち, 他の変数を消去という im-(-3)(0-3) 考え方です. I. z=x+yi, w=u+vi とおいて,u, vの関係式を求める方法 (30 II. |z-i|=1 を利用して,|w-a|=r 型を目指す方法 2つとも解答にしてみますが,できるだけⅡIを使えるようになってくださ 解答 (1)|z-i|=1 より 点と点の距離はつねに1. よって, zは点を中心とする半径1の円をえがく. (2) (解Ⅰ) z=x+yi, w=u+vi (x, y, u, vは実数) とおくと, (1+i)z=(1+i)(x+yi)=(x-y)+(x+yi だから w=(1+izより,u=x-y, v=x+y 1 .. x= (u+v), y=(v-u) ......(*) 2 ここで,|z-i|=1 に z=x+yi を代入して |x+(y-1)i|=1 :.x2+(y-1)^=1 (*)を代入して, 1/2(2+b2+1/2 (v-u-2)²=1 (u+v)²+(v-u)²-4(v-u)+4=4 2u2+2v2-4v+4u=0 vuをひとまとめ にして展開すると 計算がラクになる

(2)について、赤線部のように分かるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

29円(I) 複素数zは|z-(1+i)|=1 ① をみたしている. このとき,次の 問いに答えよ. (1)点zは複素数平面上で,どのような図形をえがくか. (2) z-2の最大値、最小値とそれらを与えるzを求めよ. 精講 (1) ①は点1+iと点z の距離はつねに1であることを示しています。 (2) z-2は点と点2の距離を表します. 解 答 (1) 点と点1+iの距離は1だから, zは点1+iを中心とする半径1の円をえがく. (2)P(z),A(2) とおくと, z-2は線分AP の長 さを表すので,Aと1+iを通る直線と円 1 |z-(1+i)|=1 の交点を図のように B, C とする と, APの最大値は AC で,最小値は AB よって, 最大値は√2+1,最小値は√2-1 次に, α=1+i, β=1 -i とおくと,最大値を与え 1B /2 0 -1- るは a+ =(-B)=1+i- √2 √2 1_i_(√2-1)+(√2+1)i (2-√2)+(2+√2)i √2 (85) 2 また,最小値を与えるは 1_i_(√2+1)+(√2-1)i a+ √2 B=1+i+. = √2 (2+√2)+(2-√2) i 2 √2 y.c D (1+i)

（1）についてです。 二次方程式の解が虚数のとき、必ず解は2つあって共役の関係じゃないんですか？

30 虚安 iを虚数単位として、以下の設問に解答せよ. (1) 虚数 α, β を係数にもつ2次方程式 z2+az+B=0 この かね が異なる虚数解 w, we をもつとする.このとき, 係数が実数であり, W1, wz を解にもつ4次方程式 x² + az³ + b²² + cz+d=0 をつくる、α,β およびそれと共役な複素数α, B を用いてa, b, c, d を 表せ. (2) 方程式 22+ 1+(2-√3)i√3+i=0 (立命館大) の解を求めよ. 一精講 解です。 (1) 4次方程式の係数は実数ですか ら、虚数 w, wz が解ならW, Wも 解法のプロセス (1) 実数係数の方程式 が解なら も解 (2) (1)がなければ,z=p+gi(p, q は実数) と おいて,与えられた方程式に代入しますが,ここ では(1)の利用を考えます. まずは, (1) が使える条 件になっているかどうかを確かめます。 (2) (1) の利用を考える (2+2)+( 解答 とおく。 (1) WW2 2次方程式 22+αz+β=0の解であるから,解と係数の関係より ws+wz=-a, w1w2=B ・① 係数が実数の4次方程式z+az+bz+cz+d=0 において, 異なる虚数 W1, W2 が解ならば,共役複素数 wi, W2も解であり,①より, wi+W2 ( 虚数) なので,wwでもある. したがって WW2,WW2のすべては異なるから z+az+bz+cz+d =(z-wi)(z-W2)(z-wi)(z-wz) =(22_(w+wz)z+w1w2}{22(w1+wz)z+w1wz} =(z+az+B)(22+az+B) ( ① ) =2+1+2+(aa+B+B)22+(aj+αB)z+BB 係数を比較して 因数定理 W1,W2を消去

三角形ABCの順番って半時計回りなのに、この図の右の方の三角形は答えに入るんでしょうか

基本 例題 101 点を中心とする回転 00000 |複素数平面上の3点A(1+i), B(3+4i), C について, △ABC が正三角形となる とき, 点Cを表す複素数を求めよ。 基本100 指針 条件を満たす図をかいてみると,右のようになり, AB=AC, A ∠BAC=1/5であるから,点Aを中心として,点Bを ま B 70 たはだけ回転するとぇが求められることがわかる。 次のことを利用して, z を求める。 3 1 A O 1 130 素数 yは 点βを, 点αを中心として0だけ回転した点を表す複 y=(cosO+isin0)(β-α)+α ****** ★

数学3 この画像の黄色線はどのようにして求めたのか教えてください

18 方程式 x+1=0 を解け. 001+0000)S 2=α 型の方程式を二項方程式といいますが,この形の方程式で は、複素数の極形式を用いると計算がラクになります。 ne |精講 解答 x=-1 より x=1 ∴.|x|=1 二項方程式と よって, x=cos+isine (0°≦0<360° 16 精講 |27|=|2| とおける. |cos60=-1 x=cos60+isin 60 ドモアブルの定理 sin60=0 0°60 <2160° だから 60-180°, 540°, 900°, 1260°, 1620°, 1980° : 0=30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°00SInia 0+*00 nie 3 3 よって, x=±i, 土 土 i 01- JJ JAJ 2 2 2