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例題 B1.37 漸化式 an+1=fa
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a=1, (n+3)an+1=nan で定義される数列{an}の一般項 am を求めよ.
解答 -1 漸化式は an+1=-
考え方
n
-α
n+3
5am と変形できて、f(n)=-
n
とおくと
an+1=f(n)am となる.
ここで,
n+3
衣大
an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)=f(n)f(n-1) (fn-2annel
これをくり返すと、
an+1=f(n)f(n-1)f(n-2)......f (1)ai
解答 -2 漸化式の両辺に (n+2)(n+1) を掛けると,
(n+3)(n+2)(n+1)an+1= (n+2) (n+1)na, となる.
第8
b=(n+2)(n+1)na, とおくと, この式は bm+1= b となる.
n
0
解答 -1 漸化式を変形して、
n
an+1=
an
......1
n+3
このとき,
a2=1+30
1
1
a1
=
4
2
2
1
1-28
低いるた
た
山
を考える
I
a3=
a2
a
2+3 2+31 +3
100
n≧4 のとき, ①をくり返し用いると, 30
n-1.n-2.n-3.n-4
n
an=
n+2n+1 n
n-T
4321
7634
a1
an-
21) (I-.d)
3
2 1
6
•
= n+2 n+1n n(n+1)(n+2)
-1=
この式は n=1,2,3のときも成り立つ.
6
よって an= n(n+1)(n+2)
であり
-
=
n-1
n+2
分が同じ形に
-an-1
n-1 n-2
n+2n+1
-an-2
a=1st (p. Bl
