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13 楕円 双曲線の接線
一定値問題
直線!: mx+wy=1が、楕円C:+=1 (a>b>0) に接しながら動くとする。
9²
62
(1) 点(m,n)は楕円上を動くことを示し,その楕円の方程式を求めよ。
(2) Cの焦点F(-²62,0)と1との距離をふとし,もう1つの焦点 F2 (2-620) と
(筑波大/一部変更)
との距離をdとする. このときdd=bを示せ.
IOI
You
621 上の点 (No,yo) におけるCの接線の方程式は
02
62
である楕円の接線に関する問題では,まず接点を設定してこの公式を使う, という方針を考えよう。
ここで重要なのは 「(No, No)は
v²
++ =1上の点だから
02 6²
エロ
+ =1...☆ が成り立つ｣
Q2
Yo
62
ということ、例題や演習題のような「接線についての一定値問題」では、接点を設定し, を使って文
字を消すのが基本的な流れである.
双曲線の接線の公式は, 楕円と形が同じ (符号が違うだけ)で,
接線の公式 #MC: 2
22
IOI
Yoy
-=1
1上の点(20) におけるDの接線の方程式は Q2 62
である (Dの式の右辺が1なら接線の方程式も右辺が-1). これも合わせて覚えよう.
Q2 62
双曲線D:
解答量
(1) 1とCの接点を (πo, yo) とすると,Z: + -=1であるから,
TOI
yoy
α2 b2
1: mix+ny=1と比較してm=-
TO
a², n=.
(Toyo) はC上の点だから
IO²
02
Yo
62
id:d2=
yo=nb² を代入すると42m²+bx²=1………･･ ① となるので, (m,n)は
楕円α'x'+b2y²=1の上を動く.
30²
+ =1である. これに.ro = ma²,
(2) c=√²-6 ② とおく.Fi (c, 0), F2(c, 0) と
1: mx+ny=1の距離がそれぞれd, d2 だから,
|mc-1|
d₁=-
|-mc-1|
+ d2=
m²+n²
m²+n²
m²+n²
|1-m2a²+m²621
m² +n²
(1+mc) (1-mc)|_(1-mic²|_[1-m² (0²-62)|
m² +n²
m² +n²
| b²n²+ m²b²| ___ b² (m²+n²)
m² +n²
m² +n²
++
□ (1) の原題は 「点(m,n) の軌
跡は楕円になることを示せ」で
あった. (m,n)は (No, yo)を
軸方向に12倍,y 軸方向に
a²
-=
倍した点とみることができる.
62
このように考えると, (m,n) が
楕円全体を動くことが言え,さら
にその楕円の方程式が
(a²x)²
← ②を用いた.
(by)2_
62
すなわち+b2y²=1 と求めら
れる.
+
-=1
← ①より1-4²m²2²aを消去)
