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例題
135 絶対値記号を外す
場合に分ける
Action» 絶対値記号は、記号内の式の正負で場合分けして外せ
次の式について、xの値によって場合分けして絶対値記号を外せ。
(1)|x-3|
Defame (2) |x+2|+|x-1|
思考プロセス
「A (A≧0 のとき)
|A|=
◆ 絶対値記号内が
1-A (A < 0 のとき)
10以上ならばそのまま外し、
[負ならば-1倍して外す。
(1)x-3の正負で場合分けする。
(2)
|x+2|
1x- ・・・x=1でx-1の正負が変わる
の方
(1)(ア)x-30 すなわち x≧3のとき
e |x-3|=x-3
ここか
必要
(イ) x-30 すなわち x < 3のとき
|x-3|= -(x-3)=-x+3
(ア)=2(イ) 1 (ウ)
x
x+2負
正
x-1負
負正
1次不等式
x-3の正負によって場合
分けする。 等号は (ア)(イ)
のどちらに含めてもよい。
.
3x
x
X
x
on Point
(ア)(イ)より |-3|-
=
x3(x≧3のと
(2)x2のとき
どちらも
e
x+3 (x <3 のとき)
x+2<0, x-1 < 0 であるから
|x+2|+|x-1|=(x+2)-(x-1)=-2x-1
(イ) −2≦x<1のとき18-0
正魚
x+2≧0, x-1 < 0 であるから
|x+2|+|x-1|= (x+2)-(x-1)=3
(ウ) 1≦x のとき
x+2> 0, x-1 ≧0 であるから
|x+2|+|x-1|=(x+2)+(x-1)=2x+1 (
(-2x-1 (x <-2 のとき)
(ア)~(ウ)より
|x+2|+|x-1|=3
(−2≦x< 1 のとき)
【2x+1
(1≦x のとき)
Point... 絶対値記号を外す
3つの場合分けで2つ
の絶対値記号を同時に外
すことができる。
(ア)(イ) (ウ)
x+2(x+2)
x+2
|x-1|| -(x-1)|x-1
絶対値記号を外すとき, (1) では x = 3 (ア)(イ) どちらの場合に含めてもよい。
なぜなら、(イ)の場合において, x=3 を代入したとすると
|x-3|= -(x-3)=-0=0
となり、(ア)の場合にx=3 を代入した結果と一致するからである。
同様に,(2)においてx = -2は(ア)(イ), x=1は(イ)と(ウ)のどちらの場合に含めて
も問題はない。ただし、必ずどちらかには含めなければならない。
io
