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重要 例題 60 n=k, k+1の仮定
解答
1000
nは自然数とする。 2 数x, yの和と積が整数ならば, x”+y" は整数である
を証明せよ。
指針
自然数nの問題であるから, 数学的帰納法で証明する。
xk+1+yk+1 xk+y* で表そうと考えると
***+y**¹=(x*+y*)(x+y)=xy(x*-1+y14-1)
よって、「x+yk は整数」に加え、「xk-1+yk-1 は整数」という仮定も必要。
そこで,次の [1], [2] を示す数学的帰納法を利用する。 下の検討も参照。
[1] n=1, 2 のとき成り立つ。
初めに示すことが2つ必要。
[2] n=k, k+1のとき成り立つと仮定すると, n=k+2のときも成り立っ
仮定にn=k, k+1などの場合がある
CHART 数学的帰納法
[1] n=1のとき
出発点も それに応じて n=1,2を証明
x'+y'=x+yで, 整数である。
n=2のとき
x2+y2=(x+y)²-2xy で, 整数である。
n=1,2のときの
整数の和差積は
[2] =k,k+1のとき, x”+y” が整数である, すなわち, n=k, k+1の
x+yk, xk+1+yk+1はともに整数であると仮定する。
n=k+2のときを考えると
xk+2+114+2 = (x4 +1+y+1)(x+y)-xy(x*+yk).
XC
x+y, xy は整数であるから, 仮定により, xk+2+yk+2
も整数である。
よって, n=k+2のときにもx"+y” は整数である。
[1], [2] から, すべての自然数nについて,x "+y” は整数で
ある。
=2のときの
整数の和
注意 [2] の仮定でn=k-1, k とすると, k-11の条件からk≧2 としなければならない
上の解答で n=k, k+1としたのは, それを避けるためである。
同n=h
