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例題 B1.8
既約分数の和
pは素数,m,nは正の整数でm<nとするとの間にあって, p
を分母とする既約分数の総和を求めよ。
(同志社大)
解答)
STAND
考え方 具体的な数で考えてみる。たとえば2と4の間 (2以上4以下) にあって5を分母と
する数は,
10
Focus
11
17 18 19
(-2). 15 12 13 14 15 (-3). 16. 5. 5. 5. 20 (4)
55555
5'5'5'5'5
m以上n以下でpを分母とする数は,
mp (= m).
p
1 等差数列と等比数列
つまり、2.2+1/32+1/3 ......, 2+- となり、初項2. 公差 1/3の等差数列になって
10
5
いる. 項数は分子に着目して 11 (=20-10+1) 個である.
これらの和を求めて, そのうち既約分数にならないもの(整数) を引くとよい .
S2=120
mp+1 mp+2
p
Þ
つまり、初項m 公差 等差数列となる。
Þ
項数np-mp+1, 末項nであるから, その和S, は,
S=1/12 (np-mp+1)(m+n)……①
1/² (n=m+1) (m+n) ......2
.......
注 素数を分母とする真分数の和は,
12.
p p
よって、求める和をSとすると, ①, ②より、合
S=1/12 (np-mp+1)(m+n)-1/21(n-m+1)(m+n)
+
np-1 np (=
p p
また,このうち, 既約分数でない数は整数であるから,
m,m+1,m+2, ......,n-1, n
つまり,初項m, 公差1の等差数列となる. [
項数n-m+1, 末項nであるから、その和 S2 は, としてもよい。
=1/(m+n)(np-mp+1-n+m-1)
=1/12 (m+n)(n-m)(b-1)
MD_R...
具体的な数で調べて規則性をみつける
P
(29)
(=n)
1+2+ ......
p
****
LED
まずはすべての分数の
和を求める .
(p-1)p
か
B1-11
公差の等差数列
p
項数をkとすると,
n=m+(k-1)
-1 1/13より、
k=(n-mp+1 だから,
S₁=((n-m)p+1}
-1)
X (m+n)
分母が素数であるから,
既約分数でないものは
mからnまでの整数に
なる.
項数n- (m-1)
S から S2 を引けば,
既約分数の総和となる.
S=S-S2
練習 mnは自然数でm<nとする.mとの間にあって5を分母とするすべての
B1.8 有理数のうち、整数にならないものの総和を求めよ。
(富山大)
***
200
bw==
B1
B2
C1
C2
13161
1) 190,
2.
HMON
