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232
第8章 ベクトル
基礎問
148 角の2等分ベクトルの扱い (II)
(1) X
(2) XO (3) XO
(4)XO 証明×
VAN
8
(3) Ai=
15
AB=5,BC=7, CA =3 をみたす △ABCについて, 次の問い
に答えよ.
(1)∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとするとき,AD を AB,
AC で表せ .
(2)∠Bの2等分線と線分AD の交点をI とするとき,AI : ID
を求めよ.
(3) AIをAB. ACで表せ.
(4) 始点を0とし,OI OA, O, OC で表せ。
精講
(1)角の2等分ベクトルの扱い方の2つ目です。
右図のとき、次の性質を利用します。
Oi=
_70A+30B+50C
15
始点を変える公式)
□□□は新しい始点)
(4)
AD:
8_3AB+5AC_3AB+5AC
15 8
15
Ai=Oi-OA, AB=OB-OA, AC=OC-OA
233
CCc+b)
bcoB-
CCctb
15Aİ=3AB+5AC にこれらを代入して
15(OI-OA)=3(OB-OA)+5(OC-OA)
(3) の式を利用する
-cbo
+b
tb+c
(4)の結論を見ると, OA, OB, OCの係数が、3辺の長さにな
っています。これは偶然ではなく,一般に,次の式が成りた
つことが知られています。 (マーク式では有効な知識です)
右図のような△ABCにおいて,
内心をIとすると
C
\6
I
01=40A+bOB+cOC
B
C
a
a+b+c
参考
第8章
AB: AC=BD:DC (I・A53)
(2) 三角形の内角の2等分線は1点で交わり, その点は,
内心と呼ばれます. (I・A52)
ABD
0
C
(4)これは「始点を変えよ」 ということですが,この結果が問題なのです。ウ
ソのようにきれいな関係式がでてきます. たまには,数学の美しさを鑑賞す
るのも悪くはないでしょう.
証明は演習問題 148です。 誘導にしたがってがんばってみましょう。
AP: PD-
ポイント
三角形の内心は、3つの内角の2等分線の交点
解答
(1) BD:DC=AB: AC=5:3
三角形の角の2等分
.. AD=
3AB+5AC
線と辺の比
8
[140]
注 右図の○印は「長さ」 ではなく 「比」 を表して
A
5
います。
B
C
(2) BD=7×
5 35
⑤
D
③
8 8
AI: ID=BA:BD=5:
35
-=8:7
8
2等分線と辺の比
注 <B は △ABCの内角の1つといえますが,△ABD の内角の1つ
とみることもできます。
BC=a, CA=b, AB = c をみたす △ABCについて 次の問い
(1) ∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとするとき,ADをAB,
AC, a, b c を用いて表せ.
(2) <Bの2等分線と線分AD の交点をI とするとき, AI: ID を
a,b,cで表せ
(3) AI を AB, AC, a, b c で表せ.
(4) 始点を0とし,I を OA, OB, OC, a,b,cで表せ.
演習問題 148
に答えよ
