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実戦問題 9 区間が変化する2次関数の最大・最小
2次関数 f(x) = x-6x-3a +18 について
(1) y=f(x) のグラフは,点(ア
at ウ 1)を頂点とする下に凸の放物線である。
(2)a≦x≦a+2 における関数 f(x) の最小値をm(a) とする。
m(a) = a². オ]a+[カキ]
(i) a<
I のとき
(ii) エ
≤as
のとき
m(a)
ケコ α+サ
(iii)
<b
ク
m(a) = a²
シ
α+スセ
(3)0≦a≦8 の範囲でαの値が変化するとき, m(a) は
中
ナニ
a =
タ のとき最大値 [チツ]
a=
のとき最小値
である。
ヌ
ネ
また, a =
"
八 のとき m(a)=4 となる。
解答
Key 1 2
(1) f(x)=x-6x-3a +18= (x-3)2-3a+9
よってy=f(x) のグラフは,点(3, -3+9)を頂点とする下に凸軸は直線x=3
の放物線である。
a +2 <3 すなわち a <1 のとき
m(a)=f(a+2)
=(a-1)2-3a+9=d-5a+10
=(a-5)²+ 15
(ii) a ≧3≦a +2 すなわち 1≦a≦3のとき
0=10...
m(a) = f(3) = -3a+9 0> (1-0)(+0)
a3のとき
m(a) = f(a) = a²-9a+18 S
=
2
9
9
4
(3)(2)(i)(ii)より,0≦a≦8の
放物線の軸が
(i) 区間より右にある
(i) 区間内にある
() 区間より左にある
の3つの場合に分けて考える。
y
(i)
y=f(x)
IS
Oa 3
a+2
右の図のようになる。
よって、この範囲でm(α) は
範囲で y=m(a) のグラフをかくと
最大
(ii)
10%
y=f(x)
y=m(a)
06
α = 0, 8 のとき最大値 10,
9
9
y=4
2
a=- のとき最小値
4
また、グラフより m(α)=4 となる
9%
201
3
8
αの値は (ii), () の範囲にそれぞれ1
つずつ存在し
9
4
a 3
a+2
(iii)
i y
y=f(x)
(ii) 1≦a≦3のとき
-3α+9=4 より α =
5
0
3 a
X
3
これは, 1 ≦a≦ 3 を満たす。
a+2
(iii) 3<a≤8 D E F
STA
α2-9a +18=4 より α-9a +14=0
よって
(a-2) (a-7)= 0
3 <a ≦ 8 であるから a = 7
5
(ii), (ii)より, α =
3'
7 のとき m(a)=4 となる。
