基本例題 22 分点に関するベクトルの等式と三角形の面積比 ①①①①①
△ABCの内部に点Pがあり, 6PÂ +3P+2PC = 0 を満たしている。
(1) 点Pはどのような位置にあるか。
(2) APAB, APBC, APCA の面積の比を求めよ。
解答
(1) 等式を変形すると
指針▷ (1) αPA+6PB+cPC = の問題点Aに関する位置ベクトルAP, AB, AC の式に
直し、AP=k
nAB+mAC
m+n
の形を導く。
A
(2)
三角形の面積比 等高な底辺の比②2 等底なら高さの比を利用して,各
三角形と△ABCとの面積比を求める。その際, (1) の結果も利用。
よって
-6AP+3(AB-AP) +2(AC-AP)=0
11AP=3AB+2AC
①
ゆえに
ゆえに AP= 5,3AB+2AC
5
辺BCを2:3に内分する点をDと
すると
AP-AD
したがって, 辺BCを2:3に内分
する点をDとすると, 点Pは線分 AD を 56 に内分する位
置にある。
(2) △ABCの面積をSとすると
△PAB= 51.4 △ABD=
6
△PBC= …AABC=
11
APCA-A
-.AACD=
B
6
53
11 5
D
n △ABC=11S
•AABC=ns
APAB: APBC: APCA = S: S: S
p.413 基本事項 [②2]
[類 名古屋市大]
基本58
C
=2:6:3
差の形に分割。
AB, AC の数に注目す
ると,線分 BC の内分点の
3AB+2AC
2+3
位置ベクトル
の形に変形することを思い
つく。
【等高S,S,
S,S,-
[参考] 一般に, △ABCと点Pに対し, IPA+mPB+nPC=0 を満たす正の数m,nが存在す
るとき,次のことが成り立つ。
(1) 点Pは△ABCの内部にある。 (2) APBC: APCA: APAB=1:m:n
