解
7
オ
て
重要 例題 51
2次方程式の整数解
xに関する2次方程式 x2(m-7)x+m=0 の解がともに正の整数である
ときの値とそのときの解を求めよ。 く
CHART & THINKING
方程式の整数解
[類 名城大]
数学A 基本 110, p.75 基本事項
(整数)×(整数)=(整数) の形にもち込む・・・・・・・
1
2つの正の整数解をα, β とすると, 解と係数の関係から, α, β, mについて,どのような
関係式が得られるだろうか?
→ α+β=m-7, aβ=m が得られる。 この2式から (整数) X (整数)=(整数)の形にも
ち込もう。すなわち,mを消去し,(αの1次式) (βの1次式)=(整数)とすればよい。
解答
'S T
係数が
2
3
ここ
い
FA
2次方程式 x2-(m-7)x+m=0 の2つの解をα,β (α≦) inf 方程式を変形すると
とすると,解と係数の関係により
1
a+β=m-7,aßb=m
m を消去すると
a+β=aβ-7
よって
aβ-a-β=7
m(x-1)=x2+7x
xが正の整数ならば右辺が
正。ゆえに x=1である。
解答にあるとおり
αβ=mであるからも
ゆえに
(α-1) (β-1)-1=7
正の整数である。
① よって
.
もしD:al
たものが目となるのでは? 0≦a-1≦β-1
よって、 ①から (a-1, B-1)=(1, 8), (2, 4)
(α-1) (ß-1)=8... ①m=
α, βは正の整数であり, α≦β であるから
x2+7x
x-1
8
=x+8+
x-1
すなわち
m=aβ であるから
20
x-1
x>1の整
x-1=1, 2
(α,β) = (2,9) すなわちm=18 のとき x=2,9x=2,3,
(α,β) = (3,5) すなわち m =15 のとき x=3,5
このとき
(a, B)=(2, 9), (3, 5) 18-(1-2)
から
8
(52-Tey)
