例題切り取る線分の長さ
47 直線 x+y-1=0
①が円 x2+y2=4
②によって切り取られ
ある線分の長さと, 線分の中点の座標を求めよ。
解答 右の図のように、切り取られる線分を AB, 線分
の中点をMとする。
円②の半径は2であるから, △OAB は
OA=OB=2 の二等辺三角形であり
∠OMA=90°
OM は,円②の中心 (0, 0) 直線 ①の距離で
A
12
(2)
2
M
-2
O
*
2x
2.
B
|-1|
1
あるから OM=
=
√12+12
2
よって
AM=√OA2-OM2=
=
22.
/7/14
=
=
-2
したがって, 求める線分の長さは AB=2AM=√14
答
また、線分の中点M は, 円 ②の中心 (0, 0) から直線 ①に引いた垂線と, 直線
①との交点である。
この垂線の方程式は
y=x
......
③ ①③を解くとx=1/2x=/12/2
1
よって, 線分の中点の座標は
谷
2 2
[参考] 線分の中点のx座標は,次のようにして求めることもできる。
①,②からyを消去して 2x²-2x-3=0
第3章 図形と方程式
この方程式の解をα, β とすると,解と係数の関係により
α+β=1
α+B_1
線分の両端のx座標はα, βであるから, 線分の中点のx座標は
2
B
194 直線 y=2x+5 が、 次の円によって切り取られる線分の長さを求めよ。
また、その線分の中点の座標を求めよ。
例題 47
*(1)x2+y2=16
(2)(x-3)+(v-1)=25
